⚙️ 한국공학대 논술 대비

논술 문항

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 집합 $\displaystyle \left\{\,x\ \middle|\ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=4\,\right\}$ 의 원소가 $\displaystyle -2$ 와 $\displaystyle 3$ 이다. 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,\ f(t))$ 에서의 접선의 기울기를 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때, $\displaystyle g(4)$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

논술 문항

함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+\frac{5}{3}x-2$ 의 역함수를 $\displaystyle g(x)$ 라 하자. 두 함수 $\displaystyle y=g(x)$ , $\displaystyle y=|x|$ 의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)

논술 문항

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t\ (t\ge 0)$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치 $\displaystyle x(t)$ 는 $\displaystyle x(t)=\frac{1}{4}t^4-\frac{5}{2}t^3+6t^2+kt$ 이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 시각 $\displaystyle t=2$ 일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도는 $\displaystyle 0$ 보다 작다.(나) 시각 $\displaystyle t=p$ 와 $\displaystyle t=q\ (0<p<q)$ 일 때만 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도가 $\displaystyle \frac{5}{2}$ 이다.시각 $\displaystyle t=q$ 일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 가속도를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle k$ , $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 는 상수이다.) (15점)

논술 문항

함수 $\displaystyle f(x)=-x^2+2ax\ (a>1)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축이 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라 하고, 직선 $\displaystyle y=2x$ 에 평행한 직선이 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 에 접하는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 의 넓이를 $\displaystyle S(a)$ 라 할 때, $\displaystyle \lim\limits_{a\to 1+}\frac{S(a)}{a-1}$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.) (10점)

논술 문항

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t\ (t\ge 0)$ 에서 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 의 속도를 각각 $\displaystyle v_1(t)$ , $\displaystyle v_2(t)$ 라 하면 $\displaystyle v_1(t)=3t^2+kt+k,\qquad v_2(t)=2t-4$ 이다. 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 는 출발한 후 시각 $\displaystyle t=a$ 일 때 동시에 운동 방향을 바꾼다. 시각 $\displaystyle t=a$ 일 때 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 사이의 거리를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle k,\ a$ 는 상수이다.) (10점)

논술 문항

실수 $\displaystyle k\ (k>1)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=-x^2+kx$ 와 직선 $\displaystyle y=x$ 가 만나는 두 점 중 원점이 아닌 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라 하고, 직선 $\displaystyle y=x$ 가 직선 $\displaystyle x=k$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=-x^2+kx$ 와 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle A$ 라 하고, 곡선 $\displaystyle y=-x^2+kx$ 와 직선 $\displaystyle x=k$ 및 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle B$ 라 하자. $\displaystyle B-A=\frac{2}{3}$ 일 때, $\displaystyle k$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.) (10점)