⚙️ 한국공학대 예상 논술 5회

해설

1. 1.사인법칙에 의하여 외접원의 반지름 $\displaystyle R$ 에 대하여 $\displaystyle \dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A}=2R$
2. 2.$\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{4}{\frac{1}{2}}=2R$ , 즉 $\displaystyle 8=2R$
3. 3.따라서 $\displaystyle R=4$
4. 4.외접원의 넓이는 $\displaystyle \pi R^2=\pi\times 16=16\pi$

채점 포인트

해설

1. 1.부분분수로 분해하면 $\displaystyle \dfrac{2}{k(k+2)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}$
2. 2.따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)$ 는 두 칸 건너뛴 항끼리 소거된다.
3. 3.남는 항은 앞쪽 $\displaystyle \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}$ 과 뒤쪽 $\displaystyle -\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{12}$ 이다.
4. 4.따라서 값은 $\displaystyle 1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{12+11}{132}=\dfrac{198}{132}-\dfrac{23}{132}=\dfrac{175}{132}$

채점 포인트

해설

1. 1.밑을 $\displaystyle 3$ 으로 통일한다. $\displaystyle \log_{12}18=\dfrac{\log_3 18}{\log_3 12}$
2. 2.$\displaystyle 18=2\times 3^2$ 이므로 $\displaystyle \log_3 18=\log_3 2+2=a+2$
3. 3.$\displaystyle 12=2^2\times 3$ 이므로 $\displaystyle \log_3 12=2\log_3 2+1=2a+1$
4. 4.따라서 $\displaystyle \log_{12}18=\dfrac{a+2}{2a+1}$

채점 포인트

해설

1. 1.밑이 $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ 으로 $\displaystyle 1$ 보다 작으므로, 부등호의 방향이 지수에서 뒤집힌다.
2. 2.따라서 $\displaystyle x^2\le 2x+3$
3. 3.$\displaystyle x^2-2x-3\le 0$ , $\displaystyle (x+1)(x-3)\le 0$ 이므로 $\displaystyle -1\le x\le 3$
4. 4.이 범위의 정수는 $\displaystyle -1,\,0,\,1,\,2,\,3$ 의 $\displaystyle 5$ 개이다.

채점 포인트

해설

1. 1.첫 번째 조건에서 $\displaystyle f(x)$ 는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 2$ 인 이차함수이므로 $\displaystyle f(x)=2x^2+bx+c$ 로 놓을 수 있다.
2. 2.두 번째 조건에서 $\displaystyle x\to 0$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle f(0)=c=0$
3. 3.따라서 $\displaystyle f(x)=2x^2+bx=x(2x+b)$ 이고 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x(2x+b)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}(2x+b)=b=3$
4. 4.그러므로 $\displaystyle f(x)=2x^2+3x$ 이고 $\displaystyle f(2)=8+6=14$

채점 포인트

해설

1. 1.접선의 기울기는 $\displaystyle y'=3x^2-6x$ 이다.
2. 2.$\displaystyle g(x)=3x^2-6x=3(x-1)^2-3$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서 최솟값 $\displaystyle -3$ 을 갖는다.
3. 3.접점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle 1$ 이고 $\displaystyle y=1-3+2=0$ 이므로 접점은 $\displaystyle (1,\,0)$ 이다.
4. 4.기울기가 $\displaystyle -3$ 이고 점 $\displaystyle (1,\,0)$ 을 지나는 직선은 $\displaystyle y-0=-3(x-1)$ , 즉 $\displaystyle y=-3x+3$
5. 5.정리하면 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-3x+3$ 이다.

채점 포인트

해설

1. 1.적분 구간이 원점에 대하여 대칭이므로 기함수와 우함수로 나눈다.
2. 2.$\displaystyle x^3$ 과 $\displaystyle -x$ 는 기함수이므로 정적분이 각각 $\displaystyle 0$ 이다.
3. 3.$\displaystyle 2x^2$ 과 $\displaystyle 3$ 은 우함수이므로 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}(2x^2+3)\,dx=2\displaystyle\int_0^2(2x^2+3)\,dx$
4. 4.$\displaystyle =2\left[\dfrac{2}{3}x^3+3x\right]_0^2=2\left(\dfrac{16}{3}+6\right)=2\times\dfrac{34}{3}=\dfrac{68}{3}$

채점 포인트

해설

1. 1.시각 $\displaystyle t$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치는 $\displaystyle x_1(t)=\displaystyle\int_0^t 3s^2\,ds=\left[s^3\right]_0^t=t^3$
2. 2.시각 $\displaystyle t$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 위치는 $\displaystyle x_2(t)=\displaystyle\int_0^t 6s\,ds=\left[3s^2\right]_0^t=3t^2$
3. 3.두 점이 만나려면 $\displaystyle x_1(t)=x_2(t)$ 이므로 $\displaystyle t^3=3t^2$ , 즉 $\displaystyle t^2(t-3)=0$
4. 4.$\displaystyle t=0$ 은 출발 시각이므로 제외하면 $\displaystyle t=3$ 에서 다시 만난다.
5. 5.그때의 위치는 $\displaystyle x_1(3)=27$ 이고 $\displaystyle x_2(3)=3\times 9=27$ 로 일치한다.

채점 포인트

해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=1$ 에서 극소이다.
2. 2.극댓값 $\displaystyle f(-1)=-1+3=2$ , 극솟값 $\displaystyle f(1)=1-3=-2$
3. 3.방정식 $\displaystyle f(x)=k$ 의 실근은 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=k$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표이고, 교점이 정확히 두 개가 되는 것은 직선이 극댓값 또는 극솟값을 지날 때이다.
4. 4.$\displaystyle k=2$ 일 때 $\displaystyle x^3-3x-2=0$ 이고 $\displaystyle (x+1)^2(x-2)=0$ 이므로 실근은 $\displaystyle x=-1$ (중근), $\displaystyle x=2$ 이다.
5. 5.$\displaystyle k=-2$ 일 때 $\displaystyle x^3-3x+2=0$ 이고 $\displaystyle (x-1)^2(x+2)=0$ 이므로 실근은 $\displaystyle x=1$ (중근), $\displaystyle x=-2$ 이다.
6. 6.따라서 $\displaystyle k=2$ 또는 $\displaystyle k=-2$ 이다.

채점 포인트