⚙️ 한국공학대 예상 논술 6회

해설

1. 1.$\displaystyle \dfrac{1}{8}=2^{-3}$ 이므로 $\displaystyle \log_2\dfrac{1}{8}=\log_2 2^{-3}=-3$
2. 2.$\displaystyle \sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$ 이므로 $\displaystyle \log_3\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}$
3. 3.따라서 두 값의 합은 $\displaystyle -3+\dfrac{1}{2}$
4. 4.$\displaystyle =-\dfrac{6}{2}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{2}$

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해설

1. 1.$\displaystyle y=a\tan(bx)$ 의 주기는 $\displaystyle \dfrac{\pi}{|b|}$ 이다. ($\displaystyle \sin$ , $\displaystyle \cos$ 과 달리 $\displaystyle 2\pi$ 가 아니라 $\displaystyle \pi$ 가 기준이다.)
2. 2.$\displaystyle b=2$ 이므로 $\displaystyle p=\dfrac{\pi}{2}$
3. 3.$\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=3\tan\left(2\times\dfrac{\pi}{8}\right)=3\tan\dfrac{\pi}{4}$
4. 4.$\displaystyle \tan\dfrac{\pi}{4}=1$ 이므로 $\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=3$

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해설

1. 1.세 수가 이 순서로 등차수열을 이루면 가운데 항은 양 끝 항의 등차중항이다.
2. 2.즉 $\displaystyle 2(x+3)=x+(2x+8)$
3. 3.좌변은 $\displaystyle 2x+6$ , 우변은 $\displaystyle 3x+8$ 이므로 $\displaystyle 2x+6=3x+8$
4. 4.따라서 $\displaystyle x=-2$

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해설

1. 1.시그마의 성질에 의하여 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}(3k^2-k)=3\sum\limits_{k=1}^{n}k^2-\sum\limits_{k=1}^{n}k$
2. 2.$\displaystyle =3\times\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{2}-\dfrac{n(n+1)}{2}$
3. 3.공통인수 $\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}$ 로 묶으면 $\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}\{(2n+1)-1\}=\dfrac{n(n+1)}{2}\times 2n$
4. 4.따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}(3k^2-k)=n^2(n+1)$

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해설

1. 1.$\displaystyle x\ne 3$ 에서 $\displaystyle f$ 는 연속이므로 $\displaystyle x=3$ 에서만 따지면 된다. 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 3}f(x)=f(3)=k$ 이어야 한다.
2. 2.$\displaystyle x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ 이다.
3. 3.$\displaystyle x\ne 3$ 이므로 $\displaystyle x-3$ 으로 약분하면 $\displaystyle f(x)=x+2$
4. 4.$\displaystyle \lim\limits_{x\to 3}(x+2)=5$ 이므로 $\displaystyle k=5$

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해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=3$ 이고, 구간 $\displaystyle [0,\,2]$ 안에 있는 것은 $\displaystyle x=1$ 뿐이다.
2. 2.$\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle 1<x<2$ 에서 $\displaystyle f'<0$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서 극대이다.
3. 3.극값과 양 끝 값을 계산하면 $\displaystyle f(0)=1$ , $\displaystyle f(1)=1-6+9+1=5$ , $\displaystyle f(2)=8-24+18+1=3$
4. 4.최댓값은 $\displaystyle 5$ , 최솟값은 $\displaystyle 1$ 이므로 차는 $\displaystyle 5-1=4$

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해설

1. 1.$\displaystyle (2x+1)^2$ 의 부정적분 중 하나는 $\displaystyle \dfrac{(2x+1)^3}{6}$ 이다. (미분하면 $\displaystyle \dfrac{3(2x+1)^2\times 2}{6}=(2x+1)^2$ 이므로 맞다.)
2. 2.따라서 $\displaystyle \displaystyle\int_0^1(2x+1)^2\,dx=\left[\dfrac{(2x+1)^3}{6}\right]_0^1$
3. 3.$\displaystyle =\dfrac{3^3}{6}-\dfrac{1^3}{6}=\dfrac{27-1}{6}=\dfrac{26}{6}$
4. 4.$\displaystyle =\dfrac{13}{3}$

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해설

1. 1.$\displaystyle f(x)=\displaystyle\int(3x^2-6x)\,dx=x^3-3x^2+C$ 이고 $\displaystyle f(0)=C=0$ 이므로 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2$
2. 2.$\displaystyle f(x)=x^2(x-3)$ 이므로 $\displaystyle f(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=0$ (중근) 또는 $\displaystyle x=3$
3. 3.$\displaystyle 0<x<3$ 에서 $\displaystyle x^2>0$ 이고 $\displaystyle x-3<0$ 이므로 $\displaystyle f(x)<0$ , 즉 곡선이 $\displaystyle x$ 축 아래에 있다.
4. 4.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3\{-(x^3-3x^2)\}\,dx=\displaystyle\int_0^3(-x^3+3x^2)\,dx$
5. 5.$\displaystyle =\left[-\dfrac{x^4}{4}+x^3\right]_0^3=-\dfrac{81}{4}+27=\dfrac{-81+108}{4}$
6. 6.$\displaystyle =\dfrac{27}{4}$

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해설

1. 1.$\displaystyle v(t)=-2t+8=0$ 에서 $\displaystyle t=4$ 이고, $\displaystyle 0\le t<4$ 에서 $\displaystyle v>0$ , $\displaystyle 4<t\le 6$ 에서 $\displaystyle v<0$ 이다.
2. 2.움직인 거리는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^6|v(t)|\,dt$ 이므로 $\displaystyle t=4$ 를 경계로 나눈다.
3. 3.$\displaystyle \displaystyle\int_0^4(-2t+8)\,dt=\left[-t^2+8t\right]_0^4=-16+32=16$
4. 4.$\displaystyle \displaystyle\int_4^6(2t-8)\,dt=\left[t^2-8t\right]_4^6=(36-48)-(16-32)=-12+16=4$
5. 5.따라서 움직인 거리는 $\displaystyle 16+4=20$
6. 6.위치의 변화량은 $\displaystyle \displaystyle\int_0^6(-2t+8)\,dt=\left[-t^2+8t\right]_0^6=-36+48=12$ 이므로 $\displaystyle t=6$ 에서의 위치는 $\displaystyle 5+12=17$

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