⚙️ 한국공학대 예상 논술 3회

해설

1. 1.점 $\displaystyle (a,\,5)$ 를 대입하면 $\displaystyle 3^{a-1}+2=5$ 이므로 $\displaystyle 3^{a-1}=3=3^1$
2. 2.밑이 같으므로 지수를 비교하면 $\displaystyle a-1=1$ , 즉 $\displaystyle a=2$
3. 3.점 $\displaystyle (3,\,b)$ 를 대입하면 $\displaystyle b=3^{3-1}+2=3^2+2=9+2=11$
4. 4.따라서 $\displaystyle a+b=2+11=13$

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해설

1. 1.두 변과 그 끼인각을 알고 있으므로 넓이는 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}\cdot\sin B$ 로 구한다.
2. 2.$\displaystyle S=\dfrac{1}{2}\times 4\times 6\times\sin\dfrac{\pi}{3}=12\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$
3. 3.코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}^2=\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2-2\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}\cos B$
4. 4.$\displaystyle =16+36-2\times 4\times 6\times\dfrac{1}{2}=52-24=28$
5. 5.길이는 양수이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

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해설

1. 1.등차수열에서 $\displaystyle a_4$ , $\displaystyle a_5$ , $\displaystyle a_6$ 은 연속한 세 항이므로 $\displaystyle a_4+a_6=2a_5$ 이다.
2. 2.따라서 $\displaystyle a_4+a_5+a_6=3a_5=39$ 이므로 $\displaystyle a_5=13$
3. 3.공차는 $\displaystyle d=a_5-a_4=13-11=2$
4. 4.$\displaystyle a_{10}=a_4+6d=11+6\times 2=23$

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해설

1. 1.$\displaystyle a>0$ 이므로 $\displaystyle -1\le\cos(bx)\le 1$ 에서 $\displaystyle c-a\le f(x)\le c+a$ 이다.
2. 2.최댓값이 $\displaystyle 3$ , 최솟값이 $\displaystyle -1$ 이므로 $\displaystyle c+a=3$ , $\displaystyle c-a=-1$
3. 3.두 식을 더하면 $\displaystyle 2c=2$ , 즉 $\displaystyle c=1$ 이고, 빼면 $\displaystyle 2a=4$ , 즉 $\displaystyle a=2$
4. 4.주기는 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{b}$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{b}=\dfrac{2\pi}{3}$ 에서 $\displaystyle b=3$
5. 5.따라서 $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle b=3$ , $\displaystyle c=1$ 이므로 $\displaystyle abc=2\times 3\times 1=6$

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해설

1. 1.$\displaystyle x=1$ 에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2+ax-6}{x-1}$ 이 존재해야 한다.
2. 2.$\displaystyle x\to 1$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle 1+a-6=0$ 에서 $\displaystyle a=5$
3. 3.이때 분자는 $\displaystyle x^2+5x-6=(x-1)(x+6)$ 이므로 $\displaystyle x\ne 1$ 에서 $\displaystyle f(x)=x+6$
4. 4.연속이므로 $\displaystyle f(1)=\lim\limits_{x\to 1}(x+6)=7$

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해설

1. 1.함수가 감소하는 구간은 $\displaystyle f'(x)\le 0$ 인 구간이다.
2. 2.$\displaystyle f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3)$
3. 3.$\displaystyle f'(x)\le 0$ 은 $\displaystyle (x+1)(x-3)\le 0$ , 즉 $\displaystyle -1\le x\le 3$
4. 4.따라서 감소하는 구간은 $\displaystyle [-1,\,3]$ 이고 그 길이는 $\displaystyle 3-(-1)=4$

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해설

1. 1.$\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle f'(x)$ 의 부정적분이므로 $\displaystyle f(x)=\displaystyle\int(6x^2-4x+1)\,dx=2x^3-2x^2+x+C$
2. 2.$\displaystyle f(1)=2-2+1+C=1+C=3$ 이므로 $\displaystyle C=2$
3. 3.따라서 $\displaystyle f(x)=2x^3-2x^2+x+2$
4. 4.$\displaystyle f(2)=16-8+2+2=12$

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해설

1. 1.$\displaystyle x\ge 0$ 에서 $\displaystyle f(x)=x^2$ 은 증가하므로 역함수가 존재하고, 역함수는 $\displaystyle y=x$ 에 대한 대칭이동으로 얻어지는 $\displaystyle g(x)=\sqrt{x}$ 이다.
2. 2.교점을 구하면 $\displaystyle x^2=\sqrt{x}$ 에서 양변을 제곱해 $\displaystyle x^4=x$ , $\displaystyle x(x^3-1)=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=1$ 이다. 둘 다 $\displaystyle x\ge 0$ 을 만족시킨다.
3. 3.$\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle \sqrt{x}>x^2$ 이므로 $\displaystyle y=g(x)$ 가 위에 있다. (예: $\displaystyle x=\dfrac{1}{4}$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{16}$)
4. 4.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,dx=\left[\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1$
5. 5.$\displaystyle =\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

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해설

1. 1.속도는 위치를 미분한 것이므로 $\displaystyle v(t)=x'(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$
2. 2.운동 방향이 바뀌는 것은 속도의 부호가 바뀌는 때이다. $\displaystyle v(t)=0$ 에서 $\displaystyle t=1$ 또는 $\displaystyle t=3$ 이다.
3. 3.$\displaystyle 0\le t<1$ 에서 $\displaystyle v>0$ , $\displaystyle 1<t<3$ 에서 $\displaystyle v<0$ , $\displaystyle t>3$ 에서 $\displaystyle v>0$ 이므로 $\displaystyle t=1$ 과 $\displaystyle t=3$ 에서 실제로 부호가 바뀐다. 즉 운동 방향을 두 번 바꾼다.
4. 4.$\displaystyle x(1)=1-6+9=4$ , $\displaystyle x(3)=27-54+27=0$
5. 5.따라서 두 위치의 차는 $\displaystyle |4-0|=4$

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