⚙️ 한국공학대 예상 논술 10회

해설

1. 1.밑을 $\displaystyle 2$ 로 통일한다. $\displaystyle 4=2^2$ 이므로 $\displaystyle 4^3=(2^2)^3=2^6$
2. 2.따라서 $\displaystyle 2^{10}\div 2^{6}=2^{10-6}=2^4$
3. 3.$\displaystyle 2^4=16$

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해설

1. 1.밑변환공식에 의하여 $\displaystyle \log_a b\times\log_b c=\log_a c$ 이다.
2. 2.먼저 앞의 두 항을 묶으면 $\displaystyle \log_2 6\times\log_6 12=\log_2 12$
3. 3.이어서 $\displaystyle \log_2 12\times\log_{12}8=\log_2 8$
4. 4.$\displaystyle 8=2^3$ 이므로 $\displaystyle \log_2 8=3$

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해설

1. 1.$\displaystyle a_1=S_1=3-1=2$
2. 2.$\displaystyle n\ge 2$ 일 때 $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-n)-\left\{3(n-1)^2-(n-1)\right\}$
3. 3.$\displaystyle 3(n-1)^2-(n-1)=3n^2-6n+3-n+1=3n^2-7n+4$ 이므로 $\displaystyle a_n=(3n^2-n)-(3n^2-7n+4)=6n-4$
4. 4.$\displaystyle n=1$ 일 때도 $\displaystyle 6-4=2=a_1$ 로 일치하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=6n-4$
5. 5.따라서 $\displaystyle a_{10}=60-4=56$

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해설

1. 1.$\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle \dfrac{\pi}{6}$ 만큼 평행이동하면 $\displaystyle x$ 대신 $\displaystyle x-\dfrac{\pi}{6}$ 을 대입한다.
2. 2.따라서 평행이동한 그래프의 식은 $\displaystyle y=\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right)$
3. 3.괄호 안을 정리하면 $\displaystyle -\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{-\pi+2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}$
4. 4.즉 $\displaystyle y=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 이므로 $\displaystyle a=\dfrac{\pi}{6}$

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해설

1. 1.$\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=-1$ 에서 연속이므로 $\displaystyle f(-1)=\lim\limits_{x\to -1}f(x)$ 이다.
2. 2.$\displaystyle x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ 이다.
3. 3.$\displaystyle x\ne -1$ 이므로 $\displaystyle x+1$ 로 약분하면 $\displaystyle f(x)=x^2-x+1$
4. 4.따라서 $\displaystyle f(-1)=\lim\limits_{x\to -1}(x^2-x+1)=1+1+1=3$

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해설

1. 1.함수가 증가하는 구간은 $\displaystyle f'(x)\ge 0$ 인 구간이다.
2. 2.$\displaystyle f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1)$
3. 3.$\displaystyle f'(x)\ge 0$ 은 $\displaystyle (x+3)(x-1)\ge 0$ 이므로 $\displaystyle x\le -3$ 또는 $\displaystyle x\ge 1$
4. 4.따라서 증가하는 구간은 $\displaystyle (-\infty,\,-3]$ 과 $\displaystyle [1,\,\infty)$ 이다.

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해설

1. 1.전개하면 $\displaystyle (x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ 이다.
2. 2.$\displaystyle \displaystyle\int_1^2(x^2-3x+2)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3}{2}x^2+2x\right]_1^2$
3. 3.$\displaystyle =\left(\dfrac{8}{3}-6+4\right)-\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}+2\right)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}$
4. 4.$\displaystyle =\dfrac{4}{6}-\dfrac{5}{6}=-\dfrac{1}{6}$

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해설

1. 1.교점을 구하면 $\displaystyle x^2-2x=x+4$ 에서 $\displaystyle x^2-3x-4=0$ , $\displaystyle (x+1)(x-4)=0$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=4$
2. 2.$\displaystyle -1<x<4$ 에서 $\displaystyle (x+4)-(x^2-2x)=-x^2+3x+4=-(x+1)(x-4)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
3. 3.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{4}(-x^2+3x+4)\,dx$
4. 4.$\displaystyle =\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3}{2}x^2+4x\right]_{-1}^{4}=\left(-\dfrac{64}{3}+24+16\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-4\right)$
5. 5.$\displaystyle =\dfrac{56}{3}-\left(-\dfrac{13}{6}\right)=\dfrac{112}{6}+\dfrac{13}{6}=\dfrac{125}{6}$

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해설

1. 1.$\displaystyle v(t)=t^2-4t+3=(t-1)(t-3)$ 이므로 $\displaystyle v(t)=0$ 인 시각은 $\displaystyle t=1$ , $\displaystyle t=3$ 이다.
2. 2.부호를 조사하면 $\displaystyle 0\le t<1$ 에서 $\displaystyle v>0$ , $\displaystyle 1<t<3$ 에서 $\displaystyle v<0$ , $\displaystyle 3<t\le 4$ 에서 $\displaystyle v>0$ 이다.
3. 3.$\displaystyle F(t)=\dfrac{t^3}{3}-2t^2+3t$ 라 하면 $\displaystyle F(0)=0$ , $\displaystyle F(1)=\dfrac{1}{3}-2+3=\dfrac{4}{3}$ , $\displaystyle F(3)=9-18+9=0$ , $\displaystyle F(4)=\dfrac{64}{3}-32+12=\dfrac{4}{3}$
4. 4.움직인 거리는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^4|v|\,dt=\left|F(1)-F(0)\right|+\left|F(3)-F(1)\right|+\left|F(4)-F(3)\right|=\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}=4$
5. 5.위치의 변화량은 $\displaystyle \displaystyle\int_0^4 v\,dt=F(4)-F(0)=\dfrac{4}{3}$ 이므로 $\displaystyle t=4$ 에서의 위치는 $\displaystyle 2+\dfrac{4}{3}=\dfrac{10}{3}$

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