⚙️ 한국공학대 예상 논술 8회

해설

1. 1.밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱이다.
2. 2.$\displaystyle \log_3 15+\log_3\dfrac{3}{5}=\log_3\left(15\times\dfrac{3}{5}\right)$
3. 3.$\displaystyle 15\times\dfrac{3}{5}=9$ 이므로 $\displaystyle \log_3 9$
4. 4.$\displaystyle 9=3^2$ 이므로 $\displaystyle \log_3 9=2$

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해설

1. 1.$\displaystyle x+y=2\sqrt{3}$ , $\displaystyle xy=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$
2. 2.곱셈공식 $\displaystyle x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ 를 이용한다.
3. 3.$\displaystyle (x+y)^2=(2\sqrt{3})^2=12$ 이므로 $\displaystyle x^2+y^2=12-2\times 1$
4. 4.$\displaystyle =12-2=10$

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해설

1. 1.$\displaystyle a_5=a_1+4d=4+4d$ , $\displaystyle a_2=a_1+d=4+d$ 이다.
2. 2.$\displaystyle a_5=3a_2$ 이므로 $\displaystyle 4+4d=3(4+d)$
3. 3.우변을 전개하면 $\displaystyle 4+4d=12+3d$
4. 4.따라서 $\displaystyle d=8$

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해설

1. 1.$\displaystyle \cos x=0$ 이면 $\displaystyle \sin x=\pm 1\ne 0$ 이므로 등식이 성립하지 않는다. 따라서 $\displaystyle \cos x\ne 0$ 이고 양변을 $\displaystyle \cos x$ 로 나눌 수 있다.
2. 2.$\displaystyle \dfrac{\sin x}{\cos x}=1$ , 즉 $\displaystyle \tan x=1$
3. 3.$\displaystyle 0\le x<2\pi$ 에서 $\displaystyle \tan x=1$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}$ 과 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}+\pi=\dfrac{5\pi}{4}$ 이다.
4. 4.따라서 모든 해의 합은 $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{5\pi}{4}=\dfrac{6\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}$

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해설

1. 1.$\displaystyle \dfrac{0}{0}$ 꼴이고 분모에 무리식이 있으므로 분모를 유리화한다.
2. 2.분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{x+1}+2$ 를 곱하면 분모는 $\displaystyle (x+1)-4=x-3$ 이 된다.
3. 3.따라서 식은 $\displaystyle \dfrac{(x-3)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{x-3}$ 이고, $\displaystyle x\ne 3$ 이므로 약분하면 $\displaystyle \sqrt{x+1}+2$
4. 4.따라서 극한값은 $\displaystyle \sqrt{4}+2=2+2=4$

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해설

1. 1.점 $\displaystyle (3,\,2)$ 가 곡선 위에 있는지 확인하면 $\displaystyle 27-27+2=2$ 로 맞다.
2. 2.$\displaystyle y'=3x^2-6x$ 이므로 $\displaystyle x=3$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 27-18=9$
3. 3.접선의 방정식은 $\displaystyle y-2=9(x-3)$ , 즉 $\displaystyle y=9x-25$
4. 4.$\displaystyle y$ 축과 만나는 점은 $\displaystyle x=0$ 일 때이므로 $\displaystyle y=-25$

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해설

1. 1.$\displaystyle (x-1)^3$ 의 부정적분 중 하나는 $\displaystyle \dfrac{(x-1)^4}{4}$ 이다.
2. 2.$\displaystyle \displaystyle\int_0^2(x-1)^3\,dx=\left[\dfrac{(x-1)^4}{4}\right]_0^2$
3. 3.$\displaystyle =\dfrac{1^4}{4}-\dfrac{(-1)^4}{4}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}$
4. 4.$\displaystyle =0$

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해설

1. 1.교점을 구하면 $\displaystyle x^2-4x+3=-x+3$ 에서 $\displaystyle x^2-3x=0$ , $\displaystyle x(x-3)=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=3$
2. 2.$\displaystyle 0<x<3$ 에서 $\displaystyle (-x+3)-(x^2-4x+3)=-x^2+3x=-x(x-3)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
3. 3.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3(-x^2+3x)\,dx$
4. 4.$\displaystyle =\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3}{2}x^2\right]_0^3=-9+\dfrac{27}{2}$
5. 5.$\displaystyle =\dfrac{-18+27}{2}=\dfrac{9}{2}$

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해설

1. 1.$\displaystyle v(t)=3t^2-6t=3t(t-2)$ 이므로 $\displaystyle v(t)=0$ 인 시각은 $\displaystyle t=0$ 과 $\displaystyle t=2$ 이다.
2. 2.$\displaystyle 0<t<2$ 에서 $\displaystyle v<0$ , $\displaystyle 2<t\le 3$ 에서 $\displaystyle v>0$ 이다.
3. 3.움직인 거리는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3|v(t)|\,dt$ 이므로 $\displaystyle t=2$ 를 경계로 나눈다.
4. 4.$\displaystyle \displaystyle\int_0^2(6t-3t^2)\,dt=\left[3t^2-t^3\right]_0^2=12-8=4$
5. 5.$\displaystyle \displaystyle\int_2^3(3t^2-6t)\,dt=\left[t^3-3t^2\right]_2^3=(27-27)-(8-12)=0+4=4$
6. 6.따라서 움직인 거리는 $\displaystyle 4+4=8$ 이고, 위치의 변화량은 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3(3t^2-6t)\,dt=27-27=0$ 이므로 $\displaystyle t=3$ 에서의 위치는 $\displaystyle 0+0=0$

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