⚙️ 한국공학대 예상 논술 9회

해설

1. 1.두 진수가 모두 양수인지 확인한다. $\displaystyle 2+\sqrt{3}>0$ 이고 $\displaystyle \sqrt{3}<2$ 이므로 $\displaystyle 2-\sqrt{3}>0$ 이다.
2. 2.밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱이므로 $\displaystyle \log_2\left\{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)\right\}$
3. 3.곱셈공식에 의하여 $\displaystyle \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=4-3=1$
4. 4.따라서 $\displaystyle \log_2 1=0$

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해설

1. 1.$\displaystyle y$ 축의 방향으로 $\displaystyle -2$ 만큼 평행이동하면 $\displaystyle y$ 대신 $\displaystyle y+2$ 를 대입하므로 식은 $\displaystyle y+2=3^x$ , 즉 $\displaystyle y=3^x-2$
2. 2.원래 함수 $\displaystyle y=3^x$ 의 점근선은 $\displaystyle y=0$ ($\displaystyle x$ 축)이고, 이것도 $\displaystyle -2$ 만큼 이동하므로 점근선은 $\displaystyle y=-2$
3. 3.$\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle x=0$ 일 때의 $\displaystyle y$ 값이므로 $\displaystyle y=3^0-2=1-2=-1$

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해설

1. 1.$\displaystyle n=1$ 을 대입하면 $\displaystyle a_2=\dfrac{a_1}{a_1+1}=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}$
2. 2.$\displaystyle n=2$ 를 대입하면 $\displaystyle a_3=\dfrac{a_2}{a_2+1}=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}+1}$
3. 3.분모를 계산하면 $\displaystyle \dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}$
4. 4.따라서 $\displaystyle a_3=\dfrac{2/3}{5/3}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5}$

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해설

1. 1.사인법칙에 의하여 $\displaystyle \dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin\mathrm{A}}=2R$ 이고, 여기서 $\displaystyle 2R$ 이 곧 외접원의 지름이다.
2. 2.$\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로 $\displaystyle 2R=\dfrac{2\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$
3. 3.$\displaystyle =2\sqrt{3}\times\dfrac{2}{\sqrt{3}}=4$
4. 4.따라서 외접원의 지름의 길이는 $\displaystyle 4$ 이다.

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해설

1. 1.분모를 전개하면 $\displaystyle (x+1)(x-2)=x^2-x-2$ 이다.
2. 2.$\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴이므로 분모와 분자를 $\displaystyle x^2$ 으로 나눈다.
3. 3.$\displaystyle \dfrac{2+\dfrac{3}{x^2}}{1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}}$ 이고, $\displaystyle x\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0$ , $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}\to 0$ 이다.
4. 4.따라서 극한값은 $\displaystyle \dfrac{2}{1}=2$

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해설

1. 1.$\displaystyle x=2$ 에서 극값을 가지므로 $\displaystyle f'(2)=0$ 이다.
2. 2.$\displaystyle f'(x)=3x^2-a$ 이므로 $\displaystyle f'(2)=12-a=0$ , 즉 $\displaystyle a=12$
3. 3.이때 $\displaystyle f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$ 이고, $\displaystyle x=2$ 의 좌우에서 $\displaystyle f'$ 가 음에서 양으로 바뀌므로 $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
4. 4.극값은 $\displaystyle f(2)=8-12\times 2=8-24=-16$

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해설

1. 1.$\displaystyle (2x+3)^2$ 의 부정적분 중 하나는 $\displaystyle \dfrac{(2x+3)^3}{6}$ 이다. (미분하면 $\displaystyle \dfrac{3(2x+3)^2\times 2}{6}=(2x+3)^2$)
2. 2.$\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}(2x+3)^2\,dx=\left[\dfrac{(2x+3)^3}{6}\right]_{-1}^{1}$
3. 3.$\displaystyle =\dfrac{5^3}{6}-\dfrac{1^3}{6}=\dfrac{125-1}{6}=\dfrac{124}{6}$
4. 4.$\displaystyle =\dfrac{62}{3}$

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해설

1. 1.교점을 구하면 $\displaystyle x^3=x$ 에서 $\displaystyle x(x-1)(x+1)=0$ 이므로 $\displaystyle x=-1,\,0,\,1$ 이고, 둘러싸인 부분은 두 개이다.
2. 2.$\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle x-x^3=x(1-x^2)>0$ 이므로 직선이 위에 있다.
3. 3.$\displaystyle -1<x<0$ 에서 $\displaystyle x^3-x=x(x^2-1)>0$ 이므로 곡선이 위에 있다. (예: $\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}$ 일 때 $\displaystyle -\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2}>0$)
4. 4.$\displaystyle \displaystyle\int_0^1(x-x^3)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$
5. 5.$\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}=0-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}$
6. 6.따라서 넓이의 합은 $\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$

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해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소이다.
2. 2.$\displaystyle f(x)=\displaystyle\int(3x^2-12x+9)\,dx=x^3-6x^2+9x+C$
3. 3.극솟값이 $\displaystyle 0$ 이므로 $\displaystyle f(3)=27-54+27+C=C=0$ , 즉 $\displaystyle C=0$ 이고 $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x$
4. 4.극댓값은 $\displaystyle f(1)=1-6+9=4$
5. 5.$\displaystyle f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2$ 이므로 $\displaystyle f(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=3$ (중근)
6. 6.따라서 서로 다른 실근의 개수는 $\displaystyle 2$ 이다.

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