⚙️ 한국공학대 예상 논술 4회

해설

1. 1.공비를 $\displaystyle r$ 라 하면 $\displaystyle a_4=a_2r^2$ 이므로 $\displaystyle 24=6r^2$ , 즉 $\displaystyle r^2=4$
2. 2.모든 항이 양수이므로 $\displaystyle r>0$ 이고, 따라서 $\displaystyle r=2$
3. 3.$\displaystyle a_6=a_4r^2=24\times 4=96$

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해설

1. 1.교점에서는 두 식의 $\displaystyle y$ 값이 같으므로 $\displaystyle 2^{-x}+3=7$
2. 2.정리하면 $\displaystyle 2^{-x}=4=2^2$
3. 3.밑이 같으므로 지수를 비교하면 $\displaystyle -x=2$
4. 4.따라서 $\displaystyle x=-2$

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해설

1. 1.밑변환공식 $\displaystyle \log_a b=\dfrac{\log_2 b}{\log_2 a}$ 를 써서 모든 로그의 밑을 $\displaystyle 2$ 로 바꾼다.
2. 2.주어진 식은 $\displaystyle \log_2 3\times\dfrac{\log_2 4}{\log_2 3}\times\dfrac{\log_2 5}{\log_2 4}\times\dfrac{\log_2 8}{\log_2 5}$
3. 3.앞뒤가 차례로 약분되어 $\displaystyle \log_2 8$ 만 남는다.
4. 4.따라서 $\displaystyle \log_2 8=\log_2 2^3=3$

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해설

1. 1.$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}k(k+1)=\sum\limits_{k=1}^{n}k^2+\sum\limits_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{n(n+1)}{2}$
2. 2.공통인수 $\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{6}$ 으로 묶으면 $\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{6}\{(2n+1)+3\}=\dfrac{n(n+1)(2n+4)}{6}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
3. 3.따라서 $\displaystyle \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}=440$ 에서 $\displaystyle n(n+1)(n+2)=1320$
4. 4.$\displaystyle 1320=10\times 11\times 12$ 이고 연속한 세 자연수의 곱이므로 $\displaystyle n=10$

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해설

1. 1.$\displaystyle \infty-\infty$ 꼴이므로 유리화한다. 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{x^2+6x}+\sqrt{x^2+2x}$ 를 곱하면
2. 2.$\displaystyle \dfrac{(x^2+6x)-(x^2+2x)}{\sqrt{x^2+6x}+\sqrt{x^2+2x}}=\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+6x}+\sqrt{x^2+2x}}$
3. 3.분모와 분자를 $\displaystyle x\ (x>0)$ 로 나누면 $\displaystyle \dfrac{4}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+\sqrt{1+\frac{2}{x}}}$
4. 4.$\displaystyle x\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{6}{x}\to 0$ , $\displaystyle \dfrac{2}{x}\to 0$ 이므로 극한값은 $\displaystyle \dfrac{4}{1+1}=2$

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해설

1. 1.주어진 식에 $\displaystyle x=1$ 을 대입하면 좌변이 $\displaystyle 0$ 이므로 $\displaystyle 1+a+b=0$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
2. 2.따라서 $\displaystyle x^2+ax+b$ 는 $\displaystyle x-1$ 을 인수로 가지므로 $\displaystyle x^2+ax+b=(x-1)(x-c)$ 로 놓을 수 있다.
3. 3.$\displaystyle x\ne 1$ 에서 $\displaystyle f(x)=x-c$ 이고, $\displaystyle f$ 가 연속이므로 $\displaystyle f(1)=\lim\limits_{x\to 1}(x-c)=1-c$
4. 4.$\displaystyle f(1)=5$ 이므로 $\displaystyle 1-c=5$ , 즉 $\displaystyle c=-4$ 이고 $\displaystyle x^2+ax+b=(x-1)(x+4)=x^2+3x-4$
5. 5.따라서 $\displaystyle a=3$ , $\displaystyle b=-4$ 이고 $\displaystyle ab=3\times(-4)=-12$

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해설

1. 1.함수가 실수 전체에서 증가하려면 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f'(x)\ge 0$ 이어야 한다.
2. 2.$\displaystyle f'(x)=3x^2+2ax+3$ 이고, 이는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수이다.
3. 3.모든 실수에서 $\displaystyle f'(x)\ge 0$ 이려면 이차방정식 $\displaystyle 3x^2+2ax+3=0$ 의 판별식 $\displaystyle D\le 0$ 이어야 한다.
4. 4.$\displaystyle \dfrac{D}{4}=a^2-9\le 0$ 에서 $\displaystyle a^2\le 9$ , 즉 $\displaystyle -3\le a\le 3$
5. 5.이 범위의 정수는 $\displaystyle -3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3$ 의 $\displaystyle 7$ 개이다.

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해설

1. 1.(가)의 양변에 $\displaystyle x=-1$ 을 대입하면 좌변은 $\displaystyle 0$ 이므로 $\displaystyle -1+a+1+b=0$ , 즉 $\displaystyle a+b=0$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
2. 2.(가)의 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하면 미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle f(x)=3x^2+2ax-1$
3. 3.(나) $\displaystyle f(1)=4$ 에서 $\displaystyle 3+2a-1=4$ 이므로 $\displaystyle 2a=2$ , 즉 $\displaystyle a=1$
4. 4.㉠에서 $\displaystyle b=-1$ 이고, $\displaystyle f(x)=3x^2+2x-1$ 이다.
5. 5.$\displaystyle \displaystyle\int_0^2(3x^2+2x-1)\,dx=\left[x^3+x^2-x\right]_0^2$
6. 6.$\displaystyle =(8+4-2)-0=10$

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해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x-3)=3x^2-12x+9$ 이므로 $\displaystyle f(x)=\displaystyle\int(3x^2-12x+9)\,dx=x^3-6x^2+9x+C$
2. 2.(나) $\displaystyle f(1)=1-6+9+C=4+C=8$ 이므로 $\displaystyle C=4$ , 즉 $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x+4$
3. 3.$\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=3$ 이고, $\displaystyle x<1$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle 1<x<3$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle x>3$ 에서 $\displaystyle f'>0$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소이다.
4. 4.극솟값은 $\displaystyle f(3)=27-54+27+4=4$
5. 5.극댓값 $\displaystyle f(1)=8$ 과 극솟값 $\displaystyle f(3)=4$ 가 모두 양수이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle x$ 축과 한 점에서만 만난다.
6. 6.따라서 방정식 $\displaystyle f(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $\displaystyle 1$ 이다.

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