⚙️ 한국공학대 예상 논술 1회

해설

1. 1.$\displaystyle \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta$ 이므로 $\displaystyle \sin\theta=-\dfrac{1}{3}$ 이다.
2. 2.$\displaystyle \pi<\theta<\dfrac{3\pi}{2}$ 는 제3사분면의 각이므로 $\displaystyle \sin\theta<0$ , $\displaystyle \cos\theta<0$ 이다. 주어진 값이 음수인 것과 일치한다.
3. 3.$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 에서 $\displaystyle \cos^2\theta=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}$ 이고 $\displaystyle \cos\theta<0$ 이므로 $\displaystyle \cos\theta=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
4. 4.$\displaystyle \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
5. 5.따라서 $\displaystyle \sin\theta\times\tan\theta=\left(-\dfrac{1}{3}\right)\times\dfrac{\sqrt{2}}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{12}$

채점 포인트

해설

1. 1.밑 $\displaystyle 3$ 이 $\displaystyle 1$ 보다 크므로 $\displaystyle f$ 는 증가함수이다. 따라서 닫힌구간의 왼쪽 끝에서 최소, 오른쪽 끝에서 최대가 된다.
2. 2.즉 $\displaystyle f(0)=\log_3 a+b=1$ $\displaystyle \cdots$ ㉠ , $\displaystyle f(8)=\log_3(8+a)+b=3$ $\displaystyle \cdots$ ㉡
3. 3.㉡에서 ㉠을 빼면 $\displaystyle \log_3(8+a)-\log_3 a=2$ , 즉 $\displaystyle \log_3\dfrac{8+a}{a}=2$
4. 4.따라서 $\displaystyle \dfrac{8+a}{a}=3^2=9$ 에서 $\displaystyle 8+a=9a$ , $\displaystyle 8a=8$ 이므로 $\displaystyle a=1$
5. 5.㉠에 대입하면 $\displaystyle \log_3 1+b=b=1$ 이므로 $\displaystyle b=1$ 이고, 둘 다 양수이므로 조건에 맞다.
6. 6.따라서 $\displaystyle a+b=1+1=2$ 이고 $\displaystyle f(x)=\log_3(x+1)+1$ 이다.
7. 7.$\displaystyle f^{-1}(2)=k$ 라 하면 $\displaystyle f(k)=2$ 이므로 $\displaystyle \log_3(k+1)+1=2$ , 즉 $\displaystyle \log_3(k+1)=1$ 에서 $\displaystyle k+1=3$ , $\displaystyle k=2$

채점 포인트

해설

1. 1.$\displaystyle S_{n+2}-S_n$ 은 제 $\displaystyle n+1$ 항과 제 $\displaystyle n+2$ 항의 합이므로 $\displaystyle S_{n+2}-S_n=a_{n+1}+a_{n+2}$
2. 2.첫째항을 $\displaystyle a$ , 공차를 $\displaystyle d$ 라 하면 $\displaystyle a_{n+1}=a+nd$ , $\displaystyle a_{n+2}=a+(n+1)d$ 이므로
3. 3.$\displaystyle a_{n+1}+a_{n+2}=2a+(2n+1)d=2dn+(2a+d)$
4. 4.이것이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle 6n+11$ 과 같으므로 $\displaystyle n$ 의 계수와 상수항을 각각 비교하면 $\displaystyle 2d=6$ , $\displaystyle 2a+d=11$
5. 5.따라서 $\displaystyle d=3$ , $\displaystyle 2a+3=11$ 에서 $\displaystyle a=4$ 이다.
6. 6.$\displaystyle a_5=a+4d=4+4\times 3=16$
7. 7.$\displaystyle S_{10}=\dfrac{10\left\{2a+9d\right\}}{2}=5(8+27)=5\times 35=175$

채점 포인트

해설

1. 1.우변의 밑을 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ 로 통일한다. $\displaystyle \dfrac{1}{8}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ 이므로 $\displaystyle \left(\dfrac{1}{8}\right)^{x-2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3(x-2)}$
2. 2.밑 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ 이 $\displaystyle 1$ 보다 작으므로 지수에서는 부등호의 방향이 뒤집힌다. 따라서 $\displaystyle x^2-2x\le 3(x-2)$
3. 3.정리하면 $\displaystyle x^2-5x+6\le 0$ , 즉 $\displaystyle (x-2)(x-3)\le 0$ 이므로 $\displaystyle 2\le x\le 3$
4. 4.이 범위의 정수는 $\displaystyle 2$ 와 $\displaystyle 3$ 의 $\displaystyle 2$ 개이다.
5. 5.두 정수의 합은 $\displaystyle 2+3=5$

채점 포인트

해설

1. 1.(가)에서 $\displaystyle x\to 1$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. $\displaystyle g$ 는 다항함수이므로 연속이고, 따라서 $\displaystyle g(1)=3$ 이다.
2. 2.이때 (가)의 좌변은 미분계수의 정의에 의하여 $\displaystyle g'(1)$ 이므로 $\displaystyle g'(1)=f(1)$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
3. 3.(나)에 $\displaystyle x=1$ 을 대입하면 $\displaystyle f(1)g(1)=1+2=3$ 이고 $\displaystyle g(1)=3$ 이므로 $\displaystyle 3f(1)=3$ , 즉 $\displaystyle f(1)=1$
4. 4.㉠에서 $\displaystyle g'(1)=f(1)=1$
5. 5.(나)의 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하면 곱의 미분법에 의하여 $\displaystyle f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=4x^3+4x$
6. 6.$\displaystyle x=1$ 을 대입하면 $\displaystyle f'(1)\times 3+1\times 1=4+4=8$ 이므로 $\displaystyle 3f'(1)=7$ , 즉 $\displaystyle f'(1)=\dfrac{7}{3}$

채점 포인트

해설

1. 1.$\displaystyle f(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$ 이므로 $\displaystyle 0<x<4$ 에서 $\displaystyle f(x)<0$ 이다.
2. 2.따라서 $\displaystyle \displaystyle\int_0^4|f(x)|\,dx=-\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx=-\left[x^3-6x^2\right]_0^4=-(64-96)=32$
3. 3.한편 $\displaystyle \displaystyle\int_0^a f(x)\,dx=\left[x^3-6x^2\right]_0^a=a^3-6a^2$
4. 4.따라서 주어진 등식은 $\displaystyle a^3-6a^2+32=0$ 이다.
5. 5.$\displaystyle a=-2$ 를 대입하면 $\displaystyle -8-24+32=0$ 이므로 $\displaystyle a+2$ 를 인수로 가지고, 나누면 $\displaystyle a^3-6a^2+32=(a+2)(a-4)^2$
6. 6.즉 $\displaystyle a=-2$ 또는 $\displaystyle a=4$ (중근)이므로 서로 다른 실수 $\displaystyle a$ 는 $\displaystyle -2$ 와 $\displaystyle 4$ 이고, 그 합은 $\displaystyle -2+4=2$

채점 포인트

해설

1. 1.$\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=2$ 에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^3+ax+b}{x-2}$ 가 존재하고 그 값이 $\displaystyle f(2)=8$ 이다.
2. 2.분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle 8+2a+b=0$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
3. 3.따라서 분자는 $\displaystyle x-2$ 를 인수로 가지므로 $\displaystyle x^3+ax+b=(x-2)(x^2+2x+c)$ 로 놓을 수 있다. (최고차항과 $\displaystyle x^2$ 항의 계수를 맞춘 것이다.)
4. 4.우변을 전개하면 $\displaystyle x^3+2x^2+cx-2x^2-4x-2c=x^3+(c-4)x-2c$ 이므로 $\displaystyle a=c-4$ , $\displaystyle b=-2c$
5. 5.$\displaystyle x\ne 2$ 에서 $\displaystyle f(x)=x^2+2x+c$ 이고 $\displaystyle f$ 가 연속이므로 $\displaystyle f(2)=4+4+c=8+c$ 이다. $\displaystyle f(2)=8$ 이므로 $\displaystyle c=0$
6. 6.따라서 $\displaystyle a=-4$ , $\displaystyle b=0$ 이고 ㉠도 $\displaystyle 8-8+0=0$ 으로 성립한다. $\displaystyle a+b=-4$

채점 포인트

해설

1. 1.(1) $\displaystyle f'(x)=3x^2-2x+1$ 이고 판별식이 $\displaystyle (-2)^2-4\times 3\times 1=-8<0$ 이므로 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f'(x)>0$ 이다. 즉 $\displaystyle f$ 는 실수 전체에서 증가하므로 일대일대응이고 역함수가 존재한다.
2. 2.(1) 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=g(x)$ 는 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭이므로 교점은 직선 $\displaystyle y=x$ 위에 있다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x$ 를 풀면 된다.
3. 3.(1) $\displaystyle x^3-x^2+x=x$ 에서 $\displaystyle x^3-x^2=0$ , $\displaystyle x^2(x-1)=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=1$ 이고 교점은 $\displaystyle (0,\,0)$ , $\displaystyle (1,\,1)$ 이다.
4. 4.(2) $\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle f(x)-x=x^2(x-1)<0$ 이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 는 직선 $\displaystyle y=x$ 보다 아래에 있다. 대칭이므로 $\displaystyle y=g(x)$ 는 직선 $\displaystyle y=x$ 보다 위에 있다.
5. 5.(2) 두 곡선과 직선 $\displaystyle y=x$ 로 나뉜 두 부분의 넓이가 대칭에 의해 같으므로, 구하는 넓이는 $\displaystyle y=x$ 와 $\displaystyle y=f(x)$ 사이 넓이의 두 배이다.
6. 6.(2) 따라서 넓이는 $\displaystyle 2\displaystyle\int_0^1\left\{x-f(x)\right\}dx=2\displaystyle\int_0^1(x^2-x^3)\,dx=2\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^1=2\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{6}$

채점 포인트

해설

1. 1.(1) 속도는 위치를 미분한 것이므로 $\displaystyle v(t)=x'(t)=t^2+2at+b$
2. 2.(1) 조건 (가)에서 $\displaystyle v(2)=4+4a+b=0$ 이므로 $\displaystyle b=-4a-4$
3. 3.(2) 이때 $\displaystyle v(t)=t^2+2at-4a-4$ 이고, $\displaystyle t=2$ 가 근이므로 다른 근을 $\displaystyle s$ 라 하면 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle 2+s=-2a$ , 즉 $\displaystyle s=-2a-2$ 이다. $\displaystyle a\le -1$ 이므로 $\displaystyle s\ge 0$ 이다.
4. 4.(2) 즉 $\displaystyle v(t)=(t-2)(t-s)$ 이다. $\displaystyle s\ge 3$ 인 경우 $\displaystyle 0\le t<2$ 에서 $\displaystyle v>0$ , $\displaystyle 2<t\le 3$ 에서 $\displaystyle v<0$ 이다.
5. 5.(2) $\displaystyle V(t)=\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{(2+s)t^2}{2}+2st$ 라 하면 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3|v|\,dt=\left\{V(2)-V(0)\right\}-\left\{V(3)-V(2)\right\}=2V(2)-V(3)$
6. 6.(2) $\displaystyle V(2)=\dfrac{8}{3}-2(2+s)+4s=2s-\dfrac{4}{3}$ , $\displaystyle V(3)=9-\dfrac{9(2+s)}{2}+6s=\dfrac{3s}{2}$ 이므로 $\displaystyle 2V(2)-V(3)=4s-\dfrac{8}{3}-\dfrac{3s}{2}=\dfrac{5s}{2}-\dfrac{8}{3}$
7. 7.(2) $\displaystyle \dfrac{5s}{2}-\dfrac{8}{3}=\dfrac{22}{3}$ 에서 $\displaystyle \dfrac{5s}{2}=10$ , 즉 $\displaystyle s=4$ 이다. ($\displaystyle s\ge 3$ 을 만족시키고, $\displaystyle s$ 가 커질수록 적분값이 커지므로 이 값이 유일하다.)
8. 8.(2) $\displaystyle s=-2a-2=4$ 에서 $\displaystyle a=-3$ 이고 $\displaystyle b=-4\times(-3)-4=8$ 이므로 $\displaystyle v(t)=t^2-6t+8$
9. 9.(2) 따라서 $\displaystyle v(5)=25-30+8=3$

채점 포인트