⚙️ 한국공학대 예상 논술 2회

해설

1. 1.$\displaystyle 4^{x}=\left(2^{x}\right)^{2}$ 이고 $\displaystyle 2^{x+2}=4\times 2^{x}$ 이므로 $\displaystyle 2^{x}=t$ 로 놓으면 $\displaystyle f=t^{2}-4t+7$ 이다.
2. 2.이때 $\displaystyle t=2^{x}>0$ 이므로 $\displaystyle t$ 의 범위는 $\displaystyle t>0$ 이다.
3. 3.$\displaystyle t^{2}-4t+7=(t-2)^{2}+3$ 이고 꼭짓점 $\displaystyle t=2$ 가 범위 $\displaystyle t>0$ 안에 있으므로 $\displaystyle t=2$ 에서 최솟값 $\displaystyle 3$ 을 갖는다.
4. 4.$\displaystyle t=2^{x}=2$ 에서 $\displaystyle x=1$ 이다.
5. 5.따라서 최솟값은 $\displaystyle 3$ 이고 그때 $\displaystyle x=1$ 이다.
6. 6.$\displaystyle f(x)=7$ 은 $\displaystyle t^{2}-4t+7=7$ , 즉 $\displaystyle t(t-4)=0$ 이므로 $\displaystyle t=0$ 또는 $\displaystyle t=4$ 이다. $\displaystyle t>0$ 이므로 $\displaystyle t=4$ , 즉 $\displaystyle 2^{x}=4$ 에서 $\displaystyle x=2$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ 에서 $\displaystyle \cos^{2}\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ 이다.
2. 2.$\displaystyle \theta$ 가 제 $\displaystyle 2$ 사분면의 각이므로 $\displaystyle \cos\theta<0$ 이고, 따라서 $\displaystyle \cos\theta=-\dfrac{4}{5}$ 이다.
3. 3.$\displaystyle \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\dfrac{3}{4}$
4. 4.$\displaystyle \dfrac{1}{\cos\theta}=-\dfrac{5}{4}$
5. 5.따라서 $\displaystyle \tan\theta+\dfrac{1}{\cos\theta}=-\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{4}=-2$ 이다.
6. 6.$\displaystyle \dfrac{1}{\sin\theta}=\dfrac{5}{3}$ , $\displaystyle \dfrac{1}{\tan\theta}=-\dfrac{4}{3}$ 이므로 그 합은 $\displaystyle \dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{3}$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle \dfrac{a_5}{a_2}=r^{3}=\dfrac{48}{6}=8$ 이므로 $\displaystyle r=2$ 이다.
2. 2.$\displaystyle a_2=a_1 r=2a_1=6$ 이므로 $\displaystyle a_1=3$ 이고 $\displaystyle a_n=3\times 2^{n-1}$ 이다.
3. 3.$\displaystyle S_7=\dfrac{3\left(2^{7}-1\right)}{2-1}=3\times 127=381$
4. 4.$\displaystyle \dfrac{a_k}{3}=2^{k-1}$ 이므로 $\displaystyle \log_2\dfrac{a_k}{3}=k-1$ 이다.
5. 5.따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{7}(k-1)=0+1+\cdots+6=\dfrac{6\times 7}{2}=21$ 이다.
6. 6.$\displaystyle a_n=3\times 2^{n-1}>1000$ 에서 $\displaystyle a_9=768<1000$ , $\displaystyle a_{10}=1536>1000$ 이므로 최소의 자연수는 $\displaystyle n=10$ 이다.

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해설

1. 1.두 시그마의 항수가 같으므로 하나의 시그마로 묶을 수 있다.
2. 2.$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\left\{(k+1)^{2}-(k-1)^{2}\right\}$ 로 쓴다.
3. 3.괄호 안을 전개하면 $\displaystyle (k+1)^{2}-(k-1)^{2}=\left(k^{2}+2k+1\right)-\left(k^{2}-2k+1\right)=4k$ 이다.
4. 4.따라서 주어진 식은 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}4k=4\times\dfrac{10\times 11}{2}=4\times 55=220$ 이다.
5. 5.곱셈공식 $\displaystyle A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ 를 써서 $\displaystyle (k+1+k-1)\{(k+1)-(k-1)\}=2k\times 2=4k$ 로 확인할 수 있다.
6. 6.$\displaystyle (k+1)(k-1)=k^{2}-1$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\left(k^{2}-1\right)=\dfrac{10\times 11\times 21}{6}-10=385-10=375$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle x\to 2$ 일 때 분자와 분모가 모두 $\displaystyle 0$ 으로 가는 $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ 꼴이다.
2. 2.분자를 유리화하기 위해 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+5}+3$ 을 곱한다.
3. 3.분자는 $\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+5}\right)^{2}-3^{2}=x^{2}+5-9=x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ 가 된다.
4. 4.따라서 주어진 식은 $\displaystyle \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)\left(\sqrt{x^{2}+5}+3\right)}=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}$ 이다.
5. 5.$\displaystyle x\to 2$ 를 대입하면 $\displaystyle \dfrac{4}{\sqrt{9}+3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ 이다.
6. 6.두 번째 식도 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+5}+3$ 을 곱한다. 분모는 $\displaystyle \left(x^{2}+5\right)-9=x^{2}-4$ 가 되어 분자의 $\displaystyle x^{2}-4$ 와 약분된다.
7. 7.따라서 두 번째 식은 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+5}+3$ 이고, $\displaystyle x\to 2$ 에서 그 값은 $\displaystyle 3+3=6$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle x=1$ 에서 미분가능하면 연속이므로 $\displaystyle 1+a=b+c$ 이다.
2. 2.(1) 또 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다. $\displaystyle x<1$ 에서 $\displaystyle f'(x)=2x+a$ 이므로 좌미분계수는 $\displaystyle 2+a$ 이고, $\displaystyle x>1$ 에서 $\displaystyle f'(x)=b$ 이므로 $\displaystyle 2+a=b$ 이다.
3. 3.(1) $\displaystyle f(2)=2b+c=5$ 이다. 세 식을 연립한다. $\displaystyle c=1+a-b=1+a-(2+a)=-1$ 이다.
4. 4.(1) $\displaystyle 2b-1=5$ 에서 $\displaystyle b=3$ 이고 $\displaystyle b=2+a$ 에서 $\displaystyle a=1$ 이다. 즉 $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=3$ , $\displaystyle c=-1$ 이다.
5. 5.(2) $\displaystyle f'(1)=2\times 1+1=3$ 이고 우미분계수 $\displaystyle b=3$ 과 같아 미분가능함이 확인된다.
6. 6.(2) $\displaystyle f(0)=0^{2}+1\times 0=0$ 이고 $\displaystyle f(3)=3\times 3-1=8$ 이므로 $\displaystyle f(0)+f(3)=8$ 이다.
7. 7.(2) $\displaystyle x<1$ 에서 $\displaystyle f'(x)=2x+1$ 이므로 $\displaystyle f'(0)=1$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle x^{2}-1=0$ 에서 $\displaystyle x=\pm 1$ 이고, $\displaystyle -1<x<1$ 에서 $\displaystyle x^{2}-1<0$ , $\displaystyle |x|>1$ 에서 $\displaystyle x^{2}-1>0$ 이다.
2. 2.(1) 따라서 $\displaystyle f(x)=1-x^{2}$ ( $\displaystyle -1\le x\le 1$ ), $\displaystyle f(x)=x^{2}-1$ ( 그 밖 )이므로 $\displaystyle x=-1$ 과 $\displaystyle x=1$ 에서 구간을 나눈다.
3. 3.(2) $\displaystyle f$ 는 우함수이므로 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)dx=2\displaystyle\int_0^2 f(x)dx$ 이다.
4. 4.(2) $\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(1-x^{2}\right)dx=\left[x-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^1=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
5. 5.(2) $\displaystyle \displaystyle\int_1^2\left(x^{2}-1\right)dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}-x\right]_1^2=\left(\dfrac{8}{3}-2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-1\right)=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$
6. 6.(2) 따라서 $\displaystyle 2\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}\right)=2\times 2=4$ 이다.
7. 7.(2) $\displaystyle f$ 가 우함수이므로 $\displaystyle x f(x)$ 는 기함수이고, 기함수의 대칭 구간 정적분은 $\displaystyle 0$ 이다. 즉 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}x f(x)dx=0$ 이다.

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해설

1. 1.(1) 곡선은 원점을 지나므로 원점이 접점일 수 있다. $\displaystyle y'=3x^{2}-6x+2$ 이고 $\displaystyle x=0$ 에서의 기울기는 $\displaystyle 2$ 이다.
2. 2.(1) 따라서 원점에서의 접선은 $\displaystyle l:y=2x$ 이다.
3. 3.(1) 교점은 $\displaystyle x^{3}-3x^{2}+2x=2x$ 에서 $\displaystyle x^{3}-3x^{2}=0$ , 즉 $\displaystyle x^{2}(x-3)=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ (중근)과 $\displaystyle x=3$ 이다.
4. 4.(1) $\displaystyle x=0$ 이 중근이라는 것이 원점에서 접한다는 사실과 일치한다.
5. 5.(2) $\displaystyle 0<x<3$ 에서 $\displaystyle \left(x^{3}-3x^{2}+2x\right)-2x=x^{2}(x-3)<0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
6. 6.(2) 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3\left\{2x-\left(x^{3}-3x^{2}+2x\right)\right\}dx=\displaystyle\int_0^3\left(3x^{2}-x^{3}\right)dx$
7. 7.(2) $\displaystyle =\left[x^{3}-\dfrac{x^{4}}{4}\right]_0^3=27-\dfrac{81}{4}=\dfrac{108-81}{4}=\dfrac{27}{4}$
8. 8.(3) $\displaystyle x^{3}-3x^{2}+2x=x(x-1)(x-2)$ 이므로 곡선은 $\displaystyle x=0,\,1,\,2$ 에서 $\displaystyle x$ 축과 만난다.
9. 9.(3) $\displaystyle 0<x<1$ 에서 양, $\displaystyle 1<x<2$ 에서 음이므로 두 구간으로 끊는다. $\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(x^{3}-3x^{2}+2x\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-x^{3}+x^{2}\right]_0^1=\dfrac{1}{4}$ 이고, $\displaystyle \displaystyle\int_1^2$ 의 값은 $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$ 이다.
10. 10.(3) 따라서 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$ 이다.

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해설

1. 1.(1) 정적분과 미분의 관계에 의하여 $\displaystyle f'(x)=x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)$ 이다.
2. 2.(1) $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=3$ 이고 부호가 양 → 음 → 양이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소이다.
3. 3.(1) $\displaystyle f(x)=\left[\dfrac{t^{3}}{3}-t^{2}-3t\right]_0^x=\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}-3x$ 이다.
4. 4.(1) $\displaystyle f(-1)=-\dfrac{1}{3}-1+3=\dfrac{5}{3}$ , $\displaystyle f(3)=9-9-9=-9$ 이므로 극댓값은 $\displaystyle \dfrac{5}{3}$ , 극솟값은 $\displaystyle -9$ 이다.
5. 5.(2) 극댓값 $\displaystyle \dfrac{5}{3}>0$ , 극솟값 $\displaystyle -9<0$ 이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle x$ 축과 서로 다른 세 점에서 만난다. 따라서 실근은 $\displaystyle 3$ 개이다.
6. 6.(2) 실제로 $\displaystyle 3f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x=x\left(x^{2}-3x-9\right)$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 과 $\displaystyle x=\dfrac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}$ 의 세 개이다.
7. 7.(2) 방정식 $\displaystyle f(x)=k$ 의 실근은 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=k$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표이므로, 세 실근을 가지려면 $\displaystyle k$ 가 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 한다. 즉 $\displaystyle -9<k<\dfrac{5}{3}$ 이다.

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