⚙️ 한국공학대 예상 논술 2회

해설

1. 1.$\displaystyle 2^a=5$ 에서 $\displaystyle a=\log_2 5$ 이고, $\displaystyle 2^b=3$ 에서 $\displaystyle b=\log_2 3$ 이다.
2. 2.밑변환공식에 의하여 $\displaystyle \log_5 45=\dfrac{\log_2 45}{\log_2 5}$
3. 3.$\displaystyle 45=3^2\times 5$ 이므로 $\displaystyle \log_2 45=\log_2 3^2+\log_2 5=2\log_2 3+\log_2 5=2b+a$
4. 4.따라서 $\displaystyle \log_5 45=\dfrac{a+2b}{a}$

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해설

1. 1.주어진 부등식은 $\displaystyle \sin x>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 와 같다.
2. 2.$\displaystyle 0\le x<2\pi$ 에서 $\displaystyle \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}$ 과 $\displaystyle x=\dfrac{2\pi}{3}$ 이다.
3. 3.함수 $\displaystyle y=\sin x$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 를 비교하면, 그래프가 직선보다 위에 있는 구간은 두 교점 사이이다.
4. 4.따라서 해는 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}<x<\dfrac{2\pi}{3}$

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해설

1. 1.부분분수로 분해하면 $\displaystyle \dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$
2. 2.따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$
3. 3.이웃한 항이 소거되어 $\displaystyle 1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$
4. 4.$\displaystyle \dfrac{n}{n+1}=\dfrac{9}{10}$ 에서 $\displaystyle 10n=9n+9$ , 즉 $\displaystyle n=9$

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해설

1. 1.세 변의 길이를 알고 한 각을 구하므로 코사인법칙을 쓴다.
2. 2.$\displaystyle \cos A=\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{CA}}^2-\overline{\mathrm{BC}}^2}{2\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{CA}}}$
3. 3.$\displaystyle =\dfrac{3^2+5^2-7^2}{2\times 3\times 5}=\dfrac{9+25-49}{30}=\dfrac{-15}{30}=-\dfrac{1}{2}$
4. 4.삼각형의 내각이므로 $\displaystyle 0<A<\pi$ 이고, 이 범위에서 $\displaystyle \cos A=-\dfrac{1}{2}$ 인 각은 $\displaystyle A=\dfrac{2\pi}{3}$

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해설

1. 1.첫 번째 조건에서 $\displaystyle f(x)$ 는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 2$ 인 이차함수이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=2x^2+bx+c$ 로 놓을 수 있다.
2. 2.두 번째 조건에서 $\displaystyle x\to 1$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle f(1)=0$
3. 3.$\displaystyle f(1)=0$ 이므로 $\displaystyle f(x)=(x-1)(2x+d)$ 로 놓을 수 있고, 이때 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(2x+d)}{x-1}=2+d=4$ 에서 $\displaystyle d=2$
4. 4.따라서 $\displaystyle f(x)=(x-1)(2x+2)=2x^2-2$
5. 5.$\displaystyle f(3)=2\times 9-2=16$

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해설

1. 1.$\displaystyle x=1$ 에서 극값을 가지므로 $\displaystyle f'(1)=0$ 이다.
2. 2.$\displaystyle f'(x)=3x^2+a$ 이므로 $\displaystyle f'(1)=3+a=0$ , 즉 $\displaystyle a=-3$
3. 3.극값이 $\displaystyle 0$ 이므로 $\displaystyle f(1)=0$ 이다. $\displaystyle f(1)=1+a+b=1-3+b=0$ 에서 $\displaystyle b=2$
4. 4.이때 $\displaystyle f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ 이고 $\displaystyle x=1$ 의 좌우에서 $\displaystyle f'$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 실제로 $\displaystyle x=1$ 에서 극소이다.
5. 5.따라서 $\displaystyle a+b=-3+2=-1$

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해설

1. 1.$\displaystyle 2x^3-3x^2-12x=-k$ 로 고치고 $\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2-12x$ 라 하면, 실근은 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=-k$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표이다.
2. 2.$\displaystyle f'(x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1)$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
3. 3.극댓값 $\displaystyle f(-1)=-2-3+12=7$ , 극솟값 $\displaystyle f(2)=16-12-24=-20$
4. 4.삼차함수의 그래프와 수평선의 교점이 정확히 두 개가 되려면 수평선이 극댓값 또는 극솟값을 지나야 한다. 즉 $\displaystyle -k=7$ 또는 $\displaystyle -k=-20$
5. 5.따라서 $\displaystyle k=-7$ 또는 $\displaystyle k=20$ 이고, 모든 $\displaystyle k$ 의 값의 합은 $\displaystyle -7+20=13$

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해설

1. 1.$\displaystyle \displaystyle\int_0^t(3x^2+2ax+b)\,dx=\left[x^3+ax^2+bx\right]_0^t=t^3+at^2+bt$
2. 2.$\displaystyle t=1$ 을 대입하면 $\displaystyle 1+a+b=4$ , 즉 $\displaystyle a+b=3$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
3. 3.$\displaystyle t=2$ 를 대입하면 $\displaystyle 8+4a+2b=14$ , 즉 $\displaystyle 4a+2b=6$ , $\displaystyle 2a+b=3$ $\displaystyle \cdots$ ㉡
4. 4.㉡에서 ㉠을 빼면 $\displaystyle a=0$ 이고, ㉠에 대입하면 $\displaystyle b=3$
5. 5.따라서 $\displaystyle f(x)=3x^2+3$
6. 6.$\displaystyle f(3)=3\times 9+3=27+3=30$

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해설

1. 1.$\displaystyle x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)=0$ 에서 교점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle x=-2,\,0,\,2$ 이다.
2. 2.구간마다 곡선의 위치를 보면, $\displaystyle -2<x<0$ 에서 $\displaystyle x^3-4x>0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 위에 있고, $\displaystyle 0<x<2$ 에서 $\displaystyle x^3-4x<0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 아래에 있다.
3. 3.$\displaystyle S_1=\displaystyle\int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^{0}=0-(4-8)=4$
4. 4.$\displaystyle S_2=\displaystyle\int_{0}^{2}\{-(x^3-4x)\}\,dx=-\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\right]_{0}^{2}=-\{(4-8)-0\}=4$
5. 5.따라서 $\displaystyle S_1+S_2=4+4=8$

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