⚙️ 한국공학대 예상 논술 1회

해설

1. 1.$\displaystyle \sin\theta<0$ 이고 $\displaystyle \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}>0$ 이므로 $\displaystyle \cos\theta<0$ 이다. 즉 $\displaystyle \theta$ 는 제3사분면의 각이다.
2. 2.$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 이고 $\displaystyle \cos\theta<0$ 이므로 $\displaystyle \cos\theta=-\sqrt{1-\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2}=-\dfrac{4}{5}$
3. 3.$\displaystyle \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{-3/5}{-4/5}=\dfrac{3}{4}$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{4}{3}$
4. 4.따라서 $\displaystyle \cos\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}=-\dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{-12+20}{15}=\dfrac{8}{15}$

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해설

1. 1.$\displaystyle \log_2 x=s$ , $\displaystyle \log_2 y=t$ 로 놓으면 $\displaystyle s+t=5$ , $\displaystyle st=4$ 이므로 $\displaystyle s$ , $\displaystyle t$ 는 이차방정식 $\displaystyle u^2-5u+4=0$ 의 두 근이다.
2. 2.$\displaystyle u^2-5u+4=(u-1)(u-4)=0$ 에서 $\displaystyle u=1$ 또는 $\displaystyle u=4$
3. 3.$\displaystyle x<y$ 이므로 $\displaystyle \log_2 x<\log_2 y$ , 즉 $\displaystyle s=1$ , $\displaystyle t=4$ 이다. 따라서 $\displaystyle x=2^1=2$ , $\displaystyle y=2^4=16$
4. 4.$\displaystyle y-x=16-2=14$

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해설

1. 1.$\displaystyle a_1=S_1=1-8=-7$ 이고, $\displaystyle n\ge 2$ 일 때 $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2-8n)-\{(n-1)^2-8(n-1)\}=2n-9$
2. 2.$\displaystyle n=1$ 일 때도 $\displaystyle 2\cdot 1-9=-7$ 로 일치하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=2n-9$ 이다.
3. 3.$\displaystyle a_n<0$ 인 $\displaystyle n$ 은 $\displaystyle 2n-9<0$ , 즉 $\displaystyle n\le 4$ 이고, $\displaystyle n\ge 5$ 일 때 $\displaystyle a_n>0$ 이다.
4. 4.따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}|a_k|=-\sum\limits_{k=1}^{4}a_k+\sum\limits_{k=5}^{10}a_k=-S_4+(S_{10}-S_4)=S_{10}-2S_4$
5. 5.$\displaystyle S_4=16-32=-16$ , $\displaystyle S_{10}=100-80=20$ 이므로 $\displaystyle S_{10}-2S_4=20+32=52$

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해설

1. 1.두 점을 대입하면 $\displaystyle \log_2(1+a)+b=3$ , $\displaystyle \log_2(7+a)+b=5$
2. 2.두 식을 변끼리 빼면 $\displaystyle \log_2\dfrac{7+a}{1+a}=2$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{7+a}{1+a}=4$
3. 3.$\displaystyle 7+a=4(1+a)$ 에서 $\displaystyle 3a=3$ , 즉 $\displaystyle a=1$ 이고 이때 $\displaystyle \log_2 2+b=3$ 에서 $\displaystyle b=2$ 이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=\log_2(x+1)+2$
4. 4.$\displaystyle f^{-1}(4)=k$ 라 하면 $\displaystyle f(k)=4$ 이므로 $\displaystyle \log_2(k+1)+2=4$ , $\displaystyle \log_2(k+1)=2$ , $\displaystyle k+1=4$ , $\displaystyle k=3$

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해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=3x^2+2ax+b$ 이고, $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle x=3$ 에서 극값을 가지므로 $\displaystyle f'(-1)=0$ , $\displaystyle f'(3)=0$ 이다.
2. 2.즉 $\displaystyle -1$ 과 $\displaystyle 3$ 은 이차방정식 $\displaystyle 3x^2+2ax+b=0$ 의 두 근이므로 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle -1+3=-\dfrac{2a}{3}$ , $\displaystyle (-1)\times 3=\dfrac{b}{3}$
3. 3.따라서 $\displaystyle a=-3$ , $\displaystyle b=-9$ 이고 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x+1$
4. 4.$\displaystyle f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 의 좌우에서 $\displaystyle f'$ 의 부호가 양에서 음으로, $\displaystyle x=3$ 의 좌우에서 음에서 양으로 바뀐다. 문제의 조건과 일치한다.
5. 5.극댓값 $\displaystyle f(-1)=-1-3+9+1=6$ , 극솟값 $\displaystyle f(3)=27-27-27+1=-26$
6. 6.따라서 극댓값과 극솟값의 차는 $\displaystyle 6-(-26)=32$

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해설

1. 1.$\displaystyle x\ne 2$ 에서 $\displaystyle f$ 는 연속이므로 $\displaystyle x=2$ 에서만 따지면 된다. 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}f(x)=f(2)=5$ 이어야 한다.
2. 2.$\displaystyle x\to 2$ 일 때 분모 $\displaystyle x-2\to 0$ 인데 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle 4+2a+b=0$
3. 3.따라서 $\displaystyle x^2+ax+b$ 는 $\displaystyle x-2$ 를 인수로 가지므로 $\displaystyle x^2+ax+b=(x-2)(x-c)$ 로 놓을 수 있고, 전개하면 $\displaystyle a=-(c+2)$ , $\displaystyle b=2c$
4. 4.이때 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(x-c)}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}(x-c)=2-c=5$ 이므로 $\displaystyle c=-3$
5. 5.따라서 $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-6$ 이고 $\displaystyle a+b=-5$

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해설

1. 1.$\displaystyle \displaystyle\int_0^1 t\,f(t)\,dt$ 는 상수이므로 $\displaystyle k$ 로 놓으면 $\displaystyle f(x)=3x^2+k$
2. 2.$\displaystyle k=\displaystyle\int_0^1 t(3t^2+k)\,dt=\int_0^1 (3t^3+kt)\,dt=\left[\dfrac{3}{4}t^4+\dfrac{k}{2}t^2\right]_0^1=\dfrac{3}{4}+\dfrac{k}{2}$
3. 3.$\displaystyle k-\dfrac{k}{2}=\dfrac{3}{4}$ 에서 $\displaystyle \dfrac{k}{2}=\dfrac{3}{4}$ , 즉 $\displaystyle k=\dfrac{3}{2}$ 이므로 $\displaystyle f(x)=3x^2+\dfrac{3}{2}$
4. 4.$\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(3x^2+\dfrac{3}{2}\right)dx=\left[x^3+\dfrac{3}{2}x\right]_0^2=8+3=11$

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해설

1. 1.$\displaystyle v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$ 이므로 $\displaystyle v(t)=0$ 인 시각은 $\displaystyle t=1$ , $\displaystyle t=3$ 이다.
2. 2.부호를 조사하면 $\displaystyle 0\le t<1$ 에서 $\displaystyle v>0$ , $\displaystyle 1<t<3$ 에서 $\displaystyle v<0$ , $\displaystyle 3<t\le 4$ 에서 $\displaystyle v>0$ 이다.
3. 3.$\displaystyle \displaystyle\int v(t)\,dt=t^3-6t^2+9t+C$ 이므로 $\displaystyle F(t)=t^3-6t^2+9t$ 로 놓으면 $\displaystyle F(0)=0$ , $\displaystyle F(1)=4$ , $\displaystyle F(3)=0$ , $\displaystyle F(4)=4$
4. 4.움직인 거리는 $\displaystyle s=\displaystyle\int_0^4|v(t)|\,dt=|F(1)-F(0)|+|F(3)-F(1)|+|F(4)-F(3)|=4+4+4=12$
5. 5.위치의 변화량은 $\displaystyle \displaystyle\int_0^4 v(t)\,dt=F(4)-F(0)=4$ 이므로 $\displaystyle x(4)=2+4=6$
6. 6.따라서 $\displaystyle s+x(4)=12+6=18$

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해설

1. 1.미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle g'(x)=f(x)$ 이다.
2. 2.$\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle x=3$ 에서 극값을 가지므로 $\displaystyle f(-1)=f(3)=0$ 이고, $\displaystyle f$ 는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 이차함수이므로 $\displaystyle f(x)=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$
3. 3.$\displaystyle g(x)=\displaystyle\int_0^x (t^2-2t-3)\,dt=\left[\dfrac{t^3}{3}-t^2-3t\right]_0^x=\dfrac{x^3}{3}-x^2-3x$ 이고 조건 (나) $\displaystyle g(0)=0$ 을 만족시킨다.
4. 4.$\displaystyle g'(x)=f(x)=(x+1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle x<-1$ 에서 $\displaystyle g'>0$ , $\displaystyle -1<x<3$ 에서 $\displaystyle g'<0$ , $\displaystyle x>3$ 에서 $\displaystyle g'>0$ 이다. 따라서 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소가 맞다.
5. 5.극댓값 $\displaystyle g(-1)=-\dfrac{1}{3}-1+3=\dfrac{5}{3}$ , 극솟값 $\displaystyle g(3)=9-9-9=-9$
6. 6.따라서 차는 $\displaystyle \dfrac{5}{3}-(-9)=\dfrac{5}{3}+\dfrac{27}{3}=\dfrac{32}{3}$

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