⚙️ 한국공학대 예상 논술 3회

해설

1. 1.진수가 모두 양수여야 하므로 $\displaystyle x-1>0$ 이고 $\displaystyle x+1>0$ 이다. 공통 범위는 $\displaystyle x>1$ 이다.
2. 2.로그의 성질에 의하여 좌변은 $\displaystyle \log_2\{(x-1)(x+1)\}=\log_2\left(x^{2}-1\right)$ 이다.
3. 3.밑 $\displaystyle 2$ 가 $\displaystyle 1$ 보다 크므로 부등호 방향이 유지되어 $\displaystyle x^{2}-1<2^{3}=8$ , 즉 $\displaystyle x^{2}<9$ 이다.
4. 4.$\displaystyle x^{2}<9$ 에서 $\displaystyle -3<x<3$ 이고, 진수조건 $\displaystyle x>1$ 과의 공통 범위는 $\displaystyle 1<x<3$ 이다.
5. 5.이 범위의 정수는 $\displaystyle x=2$ 하나이므로 정수인 해의 개수는 $\displaystyle 1$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle -1\le\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\le 1$ 이므로 $\displaystyle -3\le 3\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\le 3$ 이다.
2. 2.양변에 $\displaystyle 1$ 을 더하면 $\displaystyle -2\le f(x)\le 4$ 이므로 최댓값은 $\displaystyle 4$ , 최솟값은 $\displaystyle -2$ 이다.
3. 3.$\displaystyle \cos(ax+b)$ 의 주기는 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{|a|}$ 이므로 $\displaystyle a=2$ 에서 주기는 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{2}=\pi$ 이다.
4. 4.$\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=3\cos\left(2\times\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}\right)+1=3\cos 0+1$
5. 5.$\displaystyle \cos 0=1$ 이므로 $\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=3+1=4$ 이고, 이는 최댓값과 같다.
6. 6.$\displaystyle f(x)=1$ 은 $\displaystyle \cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=0$ 이므로 $\displaystyle 2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle 2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{2}$ 이다.
7. 7.각각 $\displaystyle 2x=\dfrac{5\pi}{6}$ , $\displaystyle 2x=\dfrac{11\pi}{6}$ 이므로 $\displaystyle x=\dfrac{5\pi}{12}$ 또는 $\displaystyle x=\dfrac{11\pi}{12}$ 이고 둘 다 $\displaystyle 0\le x<\pi$ 안에 있다.

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해설

1. 1.$\displaystyle a_n=20+(n-1)\times(-3)=23-3n$
2. 2.$\displaystyle a_n<0$ 은 $\displaystyle 23-3n<0$ , 즉 $\displaystyle n>\dfrac{23}{3}\approx 7.67$ 이므로 처음으로 음수가 되는 항은 제 $\displaystyle 8$ 항이다. ( $\displaystyle a_7=2>0$ , $\displaystyle a_8=-1<0$ )
3. 3.양수인 항을 모두 더할 때까지 합이 커지고 그 뒤에는 작아지므로, $\displaystyle S_n$ 은 $\displaystyle n=7$ 에서 최대이다.
4. 4.$\displaystyle S_7=\dfrac{7\left(a_1+a_7\right)}{2}=\dfrac{7(20+2)}{2}=\dfrac{7\times 22}{2}=77$
5. 5.검산하면 $\displaystyle S_n=\dfrac{n(43-3n)}{2}$ 이고 $\displaystyle S_6=\dfrac{6\times 25}{2}=75$ , $\displaystyle S_8=\dfrac{8\times 19}{2}=76$ 이므로 $\displaystyle S_7=77$ 이 최대임이 확인된다.

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해설

1. 1.$\displaystyle \dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$ 로 분해된다. 실제로 오른쪽을 통분하면 $\displaystyle \dfrac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k(k+1)}$ 이다.
2. 2.따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)$ 에서 가운데 항이 모두 소거되어 $\displaystyle 1-\dfrac{1}{n+1}$ 이 남는다.
3. 3.정리하면 $\displaystyle \dfrac{n}{n+1}$ 이다.
4. 4.$\displaystyle n=99$ 를 대입하면 $\displaystyle \dfrac{99}{100}$ 이다.
5. 5.$\displaystyle \dfrac{n}{n+1}>0.98$ 에서 $\displaystyle n>0.98(n+1)$ , 즉 $\displaystyle 0.02n>0.98$ 이므로 $\displaystyle n>49$ 이다. 따라서 최소의 자연수는 $\displaystyle n=50$ 이다.
6. 6.$\displaystyle \dfrac{1}{k(k+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)$ 이므로 두 칸씩 건너 소거되어 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$ 이 된다.

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해설

1. 1.첫 번째 조건에서 $\displaystyle f$ 의 최고차항의 계수가 $\displaystyle 2$ 이므로 $\displaystyle f(x)=2x^{2}+bx+c$ 로 놓을 수 있다.
2. 2.두 번째 조건에서 $\displaystyle x\to 1$ 일 때 분모가 $\displaystyle 0$ 으로 가고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle f(1)=0$ 이다.
3. 3.그러므로 $\displaystyle 2+b+c=0$ 이다.
4. 4.또 $\displaystyle f(1)=0$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)=5$ 이다. $\displaystyle f'(x)=4x+b$ 이므로 $\displaystyle 4+b=5$ , 즉 $\displaystyle b=1$ 이다.
5. 5.$\displaystyle c=-2-b=-3$ 이므로 $\displaystyle f(x)=2x^{2}+x-3$ 이고 $\displaystyle f(2)=8+2-3=7$ 이다.

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해설

1. 1.(1) 점 $\displaystyle (1,\,2)$ 를 지나므로 $\displaystyle 1+a+b=2$ , 즉 $\displaystyle a+b=1$ 이다.
2. 2.(1) $\displaystyle y'=2x+a$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 2+a$ 이다. 접선이 $\displaystyle y=4x-2$ 이므로 $\displaystyle 2+a=4$ , 즉 $\displaystyle a=2$ 이다.
3. 3.(1) 따라서 $\displaystyle b=1-a=-1$ 이고 곡선은 $\displaystyle y=x^{2}+2x-1$ 이다.
4. 4.(1) 검산하면 $\displaystyle x=1$ 에서 $\displaystyle y=1+2-1=2$ 로 점 $\displaystyle (1,\,2)$ 를 지나고, 접선 $\displaystyle y=4\times 1-2=2$ 도 이 점을 지난다.
5. 5.(2) $\displaystyle y=x^{2}+2x-1=(x+1)^{2}-2$ 이므로 꼭짓점은 $\displaystyle (-1,\,-2)$ 이다.
6. 6.(2) $\displaystyle x=0$ 을 대입하면 $\displaystyle y=-1$ 이므로 $\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle -1$ 이다.
7. 7.(2) $\displaystyle (x+1)^{2}-2=0$ 에서 $\displaystyle (x+1)^{2}=2$ 이므로 $\displaystyle x=-1\pm\sqrt{2}$ 이다.

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해설

1. 1.(1) 주어진 등식에 $\displaystyle x=1$ 을 대입하면 왼쪽은 $\displaystyle \displaystyle\int_1^1 f(t)dt=0$ 이다.
2. 2.(1) 오른쪽은 $\displaystyle 1-a+3=4-a$ 이므로 $\displaystyle 4-a=0$ , 즉 $\displaystyle a=4$ 이다.
3. 3.(1) 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하면 정적분과 미분의 관계에 의하여 $\displaystyle f(x)=2x-4$ 이다.
4. 4.(2) $\displaystyle \displaystyle\int_0^3 (2x-4)dx=\left[x^{2}-4x\right]_0^3=9-12=-3$
5. 5.(2) 주어진 등식을 써서 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3 f=\displaystyle\int_1^3 f-\displaystyle\int_1^0 f=(9-12+3)-(0-0+3)=0-3=-3$ 으로도 확인된다.
6. 6.(2) $\displaystyle g(x)=\displaystyle\int_1^x f(t)dt=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1$ 이므로 $\displaystyle x=2$ 에서 최솟값 $\displaystyle -1$ 을 갖는다. $\displaystyle g'(x)=f(x)=2x-4=0$ 인 점과 일치한다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle f'(x)=3x^{2}+2ax+b$ 이고 $\displaystyle x=1$ 에서 극값을 가지므로 $\displaystyle f'(1)=3+2a+b=0$ 이다.
2. 2.(1) 극댓값이 $\displaystyle 2$ 이므로 $\displaystyle f(1)=1+a+b=2$ , 즉 $\displaystyle a+b=1$ 이다.
3. 3.(1) 두 식에서 $\displaystyle b=1-a$ 를 첫 식에 넣으면 $\displaystyle 3+2a+1-a=0$ , 즉 $\displaystyle a=-4$ 이고 $\displaystyle b=5$ 이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x^{3}-4x^{2}+5x$ 이다.
4. 4.(1) $\displaystyle f'(x)=3x^{2}-8x+5=(3x-5)(x-1)$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=\dfrac{5}{3}$ 이다. 부호가 양 → 음 → 양이므로 $\displaystyle x=1$ 에서 극대, $\displaystyle x=\dfrac{5}{3}$ 에서 극소이고 조건과 일치한다.
5. 5.(1) $\displaystyle f\left(\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{125}{27}-4\times\dfrac{25}{9}+5\times\dfrac{5}{3}=\dfrac{125-300+225}{27}=\dfrac{50}{27}$
6. 6.(2) 방정식 $\displaystyle f(x)=k$ 의 실근은 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=k$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표이다.
7. 7.(2) 교점이 세 개가 되려면 $\displaystyle k$ 가 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 하므로 $\displaystyle \dfrac{50}{27}<k<2$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle x(t)=2+\displaystyle\int_0^t\left(s^{2}-4s+3\right)ds=2+\left[\dfrac{s^{3}}{3}-2s^{2}+3s\right]_0^t=\dfrac{t^{3}}{3}-2t^{2}+3t+2$
2. 2.(1) $\displaystyle v(t)=t^{2}-4t+3=(t-1)(t-3)=0$ 에서 $\displaystyle t=1$ 또는 $\displaystyle t=3$ 이다.
3. 3.(1) $\displaystyle 0<t<1$ 에서 $\displaystyle v>0$ , $\displaystyle 1<t<3$ 에서 $\displaystyle v<0$ , $\displaystyle 3<t<4$ 에서 $\displaystyle v>0$ 이므로 두 시각 모두에서 방향이 바뀐다.
4. 4.(2) $\displaystyle x(0)=2$ , $\displaystyle x(1)=\dfrac{1}{3}-2+3+2=\dfrac{10}{3}$ , $\displaystyle x(3)=9-18+9+2=2$ , $\displaystyle x(4)=\dfrac{64}{3}-32+12+2=\dfrac{64}{3}-18=\dfrac{10}{3}$
5. 5.(2) 움직인 거리는 방향이 바뀌는 시각에서 끊어 더하므로 $\displaystyle \left|\dfrac{10}{3}-2\right|+\left|2-\dfrac{10}{3}\right|+\left|\dfrac{10}{3}-2\right|=\dfrac{4}{3}\times 3=4$ 이다.
6. 6.(2) 위치의 후보는 $\displaystyle x(1)=\dfrac{10}{3}$ 과 $\displaystyle x(4)=\dfrac{10}{3}$ 이고 두 값이 같으므로 최댓값은 $\displaystyle \dfrac{10}{3}$ 이다.

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