기출은 EBS 어디서 왔나

논술 문항

6. 두 다항 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-g(x)}{x-1}=2,\quad \lim_{x\to 1}\frac{f(x)+g(x)-4}{x-1}=6$ 을 만족시킨다. $\displaystyle h(x)=f(x)g(x)$ 라 할 때, 다음에 답하시오(5개 문항 모두 답만 쓰시오). (10점)① $\displaystyle f(1)=$ __________ (2점)② $\displaystyle g(1)=$ __________ (1점)③ $\displaystyle f'(1)=$ __________ (2점)④ $\displaystyle g'(1)=$ __________ (1점)⑤ $\displaystyle h'(1)=$ __________ (4점)

논술 문항

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 집합 $\displaystyle \left\{\,x\ \middle|\ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=4\,\right\}$ 의 원소가 $\displaystyle -2$ 와 $\displaystyle 3$ 이다. 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,\ f(t))$ 에서의 접선의 기울기를 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때, $\displaystyle g(4)$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

논술 문항

함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+\frac{5}{3}x-2$ 의 역함수를 $\displaystyle g(x)$ 라 하자. 두 함수 $\displaystyle y=g(x)$ , $\displaystyle y=|x|$ 의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)

논술 문항

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t\ (t\ge 0)$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치 $\displaystyle x(t)$ 는 $\displaystyle x(t)=\frac{1}{4}t^4-\frac{5}{2}t^3+6t^2+kt$ 이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 시각 $\displaystyle t=2$ 일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도는 $\displaystyle 0$ 보다 작다.(나) 시각 $\displaystyle t=p$ 와 $\displaystyle t=q\ (0<p<q)$ 일 때만 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도가 $\displaystyle \frac{5}{2}$ 이다.시각 $\displaystyle t=q$ 일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 가속도를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle k$ , $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 는 상수이다.) (15점)

논술 문항

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle f(1)=0$ (나) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle (x-3)f(x) \ge 0$ 이 성립한다.실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle f(x)-(x-1)f'(k)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 2$ 가 되도록 하는 모든 실수 $\displaystyle k$ 의 값의 합을 구하시오. (12점)

논술 문항

그림과 같이 원에 내접하고 $\displaystyle \overline{AB}=\overline{AD}$ , $\displaystyle \overline{BC}=2$ , $\displaystyle \overline{CD}=4$ 인 사각형 ABCD가 있다. $\displaystyle \angle ABC$ 를 $\displaystyle \theta$ 라 할 때, $\displaystyle \overline{AB}\cos\theta$ 를 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 10점).

논술 문항

두 실수 $\displaystyle a,\ b$ 에 대하여 $\displaystyle 2<a<b$ 이고 $\displaystyle a:b=2:3$ 이다. 직선 $\displaystyle y=3$ 과 세 곡선 $\displaystyle y=\log_2 x$ , $\displaystyle y=\log_a x$ , $\displaystyle y=\log_b x$ 가 만나는 점을 각각 $\displaystyle A,\ B,\ C$ 라 하자. $\displaystyle \overline{AB}:\overline{BC}=1:5$ 일 때, $\displaystyle b^3-a^3=\dfrac{q}{p}$ 이다 (단, $\displaystyle p,\ q$ 는 서로소인 자연수이다).다음에 답하시오. (10점)① 점 $\displaystyle A$ 의 좌표 = __________ (답만 쓰시오. 2.5점).② $\displaystyle p+q$ 를 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 7.5점).

논술 문항

5. 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=\begin{cases} 2n+1 & (n\text{이 홀수인 경우}) \\ a_{n-1}+1 & (n\text{이 짝수인 경우}) \end{cases}$ 를 만족시킨다. $\displaystyle \sum_{k=1}^{50} a_k$ 를 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 10점).

논술 문항

8. 양의 실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=3\cos 2kx$ 의 주기를 $\displaystyle g(k)$ 라 하고, $\displaystyle h(k)=f(g(k))+\cos\left(\frac{g(k)}{2}+\frac{4}{3}\pi\right)$ 라 하자. 함수 $\displaystyle h(k)$ 가 최댓값을 갖도록 하는 양수 $\displaystyle k$ 의 최댓값을 $\displaystyle a$ 라 하고, 함수 $\displaystyle h(k)$ 가 최솟값을 갖도록 하는 양수 $\displaystyle k$ 의 최댓값을 $\displaystyle b$ 라 한다. 다음에 답하시오. (10점)① $\displaystyle g(k)=$ __________ (답만 쓰시오. 1.5점).② $\displaystyle h(k)$ 를 간단히 정리하시오. $\displaystyle h(k)=$ __________ (답만 쓰시오. 2.5점).③ $\displaystyle a$ 를 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 3점).④ $\displaystyle b$ 를 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 3점).

논술 문항

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^x t\,f(t)\,dt=f(x)+ax^3+x^2+x-2$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle f(a)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

논술 문항

1이 아닌 두 양수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ $\displaystyle (a\neq b)$ 가 $\displaystyle \log_a \frac{1}{b}=\left(\log_{\frac{1}{b}} a\right)\times\left(\log_a \frac{b^3}{a^2}\right)$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \log_b a+\log_{\frac{1}{a}} b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

논술 문항

함수 $\displaystyle f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+x+7$ 과 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 집합 $\displaystyle A=\left\{x \mid (f(x)f'(t)-f'(t))(x-t)+f(x)(f(t)-1)-f(t)+1=0\right\}$ 일 때, 집합 $\displaystyle A$ 의 원소의 개수가 1이 되도록 하는 모든 $\displaystyle t$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

논술 문항

$\displaystyle 0\le\theta<2\pi$ 에서 $\displaystyle \sin\left(\frac{3}{2}\pi+\theta\right)-\cos\left(\frac{3}{2}\pi+\theta\right)=-\frac{3}{4}$ 일 때, $\displaystyle \tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

논술 문항

그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{BC}}=2:1$ 이고 $\displaystyle \angle \mathrm{B}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}$ 이라 하자. $\displaystyle \sin^2(\angle \mathrm{ACM})=\dfrac{q}{p}$ 일 때, $\displaystyle p-q$ 의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 는 서로소인 자연수이다.) (10점)

논술 문항

그림과 같이 중심이 각각 점 $\displaystyle \mathrm{O}_1$ , 점 $\displaystyle \mathrm{O}_2$ , 점 $\displaystyle \mathrm{O}_3$ 이고 반지름의 길이가 각각 $\displaystyle r_1$ , $\displaystyle r_2$ , $\displaystyle r_3$ 인 세 원 $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ , $\displaystyle C_3$ 이 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2}=r_1+r_2$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3}=r_2+r_3$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_3}=r_1+2r_2+r_3$ (나) 세 원의 반지름 $\displaystyle r_1$ , $\displaystyle r_2$ , $\displaystyle r_3$ 는 순서대로 등비수열을 이룬다.(다) 세 원 $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ , $\displaystyle C_3$ 에 모두 접하는 직선 $\displaystyle l$ 이

논술 문항

두 함수 $\displaystyle f(x)=x^4+x^3-2x^2-8x$ , $\displaystyle g(x)=x^3+2x^2+8x+k$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle f(x)\le g(x)$ 를 만족시키는 정수 $\displaystyle x$ 의 개수가 3이 되도록 하는 모든 정수 $\displaystyle k$ 의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

논술 문항

기울기가 $\displaystyle -3$ 인 직선이 두 함수 $\displaystyle y=3^x$ , $\displaystyle y=3^{x+2}+6$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ 라 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 중점의 좌표가 $\displaystyle (3,\ a)$ 일 때, 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

논술 문항

수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n+a_{n+3}=15$ 를 만족시킨다. $\displaystyle \sum_{n=1}^{3} a_n=10$ 일 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{63} a_n$ 의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

논술 문항

곡선 $\displaystyle y=-x^3+3x^2-3x+1$ 과 직선 $\displaystyle y=-3x+k$ 가 서로 다른 세 점에서 만날 때, 정수 $\displaystyle k$ 의 모든 값의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

논술 문항

함수 $\displaystyle y=f(x)=\frac{1}{4}x^3$ 의 역함수를 $\displaystyle y=g(x)$ 라고 하자. 이때, 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

논술 문항

상수 $\displaystyle a,\ b$ 에 대하여 최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-3}{x^2-4}=a,\qquad \lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(x-1)}{x-3}=b$ 를 만족시킬 때, 다음에 답하시오(3개 문항 모두 답만 쓰시오). (10점)① $\displaystyle f(x)=$ __________ (4점)② $\displaystyle a=$ __________ (3점)③ $\displaystyle b=$ __________ (3점)

논술 문항

함수 $\displaystyle f(x)=-x^2+2ax\ (a>1)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축이 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라 하고, 직선 $\displaystyle y=2x$ 에 평행한 직선이 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 에 접하는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 의 넓이를 $\displaystyle S(a)$ 라 할 때, $\displaystyle \lim\limits_{a\to 1+}\frac{S(a)}{a-1}$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.) (10점)

논술 문항

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t\ (t\ge 0)$ 에서 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 의 속도를 각각 $\displaystyle v_1(t)$ , $\displaystyle v_2(t)$ 라 하면 $\displaystyle v_1(t)=3t^2+kt+k,\qquad v_2(t)=2t-4$ 이다. 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 는 출발한 후 시각 $\displaystyle t=a$ 일 때 동시에 운동 방향을 바꾼다. 시각 $\displaystyle t=a$ 일 때 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 사이의 거리를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle k,\ a$ 는 상수이다.) (10점)

논술 문항

두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 와 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 는 시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 각각 점 $\displaystyle \mathrm{A}(3)$ 과 점 $\displaystyle \mathrm{B}(20)$ 에서 출발하여 수직선 위를 움직인다. 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 시각 $\displaystyle t\,(t \ge 0)$ 에서의 속도는 각각 $\displaystyle v_1(t)=3t^2+4t-20,\qquad v_2(t)=2t+9$ 이다. 출발한 시각부터 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 사이의 거리가 처음으로 $\displaystyle 12$ 가 될 때까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 움직인 거리를 구하시오. (12점)

논술 문항

실수 $\displaystyle k\ (k>1)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=-x^2+kx$ 와 직선 $\displaystyle y=x$ 가 만나는 두 점 중 원점이 아닌 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라 하고, 직선 $\displaystyle y=x$ 가 직선 $\displaystyle x=k$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=-x^2+kx$ 와 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle A$ 라 하고, 곡선 $\displaystyle y=-x^2+kx$ 와 직선 $\displaystyle x=k$ 및 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle B$ 라 하자. $\displaystyle B-A=\frac{2}{3}$ 일 때, $\displaystyle k$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.) (10점)

논술 문항

실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}-x^2+6x+k & (x<0)\\[2pt] x^2-4x+k & (x\ge 0)\end{cases}$ 이라 하자. 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 함수 $\displaystyle y=|f(x)|$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=t$ 의 교점의 개수를 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오.(1) $\displaystyle k=2$ 일 때, $\displaystyle g(1)$ 의 값을 구하시오. (6점)(2) $\displaystyle 0<k<2$ 일 때, 함수 $\displaystyle g(t)$ 가 $\displaystyle t=a$ 에서 불연속인 모든 실수 $\displaystyle a$ 의 값의 합을 구하시오. (10점) (16점)

논술 문항

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건 (가)와 (나)를 만족시킨다.(가) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,\ f(t))$ 에서 접선의 기울기가 $\displaystyle t^2-3a$ 이다. (단, $\displaystyle a$ 는 상수)(나) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 가 $\displaystyle x=-1$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 접한다.다음에 답하시오. (10점)① $\displaystyle a=$ ________ (답만 쓰시오. 2점).② $\displaystyle f(x)=$ __________ (답만 쓰시오. 3점).③ 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 5점).

논술 문항

7. 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+5$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle A(-4,\ f(-4))$ 에서의 접선에 수직이고, 점 $\displaystyle A$ 를 지나는 직선을 $\displaystyle y=l(x)$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=l(x)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하고자 한다. 다음에 답하시오. (10점)① $\displaystyle l(x)=$ __________ (답만 쓰시오. 3점).② 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=l(x)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 7점).