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⚙️ 한국공학대 예상 논술 7회

AI융합 자율전공

문항

9문항

배점

100점

시간

80분

출제 범위

수학Ⅰ · 수학Ⅱ

채점은 이렇게 된다

  • · 36개 채점표 전부 단계별 부분점수 구조. '전부 맞아야 점수'인 문항은 하나도 없다
  • · 최종 답의 배점 비중이 6.7~30%뿐이다. 2026 오전 9번은 15점 중 최종 답이 1점이었다 — 답만 쓰면 1점, 답이 틀려도 과정을 다 쓰면 14점

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1번10점수학Ⅰ · 지수

(212+2−12)2\displaystyle \left(2^{\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{2}}\right)^2 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · 92\displaystyle \dfrac{9}{2}

해설

  1. 1.완전제곱식을 전개하면 (212)2+2⋅212⋅2−12+(2−12)2\displaystyle \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^2+2\cdot 2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{-\frac{1}{2}}+\left(2^{-\frac{1}{2}}\right)^2
  2. 2.(212)2=2\displaystyle \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^2=2 , (2−12)2=2−1=12\displaystyle \left(2^{-\frac{1}{2}}\right)^2=2^{-1}=\dfrac{1}{2}
  3. 3.가운데 항은 2×212−12=2×20=2\displaystyle 2\times 2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=2\times 2^0=2
  4. 4.따라서 2+2+12=92\displaystyle 2+2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}

채점 포인트

1완전제곱식을 전개한 경우3
2가운데 항이 2\displaystyle 2 임을 밝힌 경우3
3세 항을 각각 계산한 경우3
4최종 답 92\displaystyle \dfrac{9}{2}1
계10

실전 조언 · 지수가 서로 반대 부호인 두 항의 곱은 1\displaystyle 1 이다. 가운데 항이 2×1=2\displaystyle 2\times 1=2 가 되는 이유다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 20번

2번10점수학Ⅰ · 삼각함수

삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC} 에서 A+B=2π3\displaystyle \mathrm{A}+\mathrm{B}=\dfrac{2\pi}{3} 일 때, sin⁡C\displaystyle \sin\mathrm{C} 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · 32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}

해설

  1. 1.삼각형의 세 내각의 합은 π\displaystyle \pi 이므로 A+B+C=π\displaystyle \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi
  2. 2.조건에서 A+B=2π3\displaystyle \mathrm{A}+\mathrm{B}=\dfrac{2\pi}{3} 이므로 C=π−2π3=π3\displaystyle \mathrm{C}=\pi-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}
  3. 3.따라서 sin⁡C=sin⁡π3=32\displaystyle \sin\mathrm{C}=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

채점 포인트

1세 내각의 합이 π\displaystyle \pi 임을 이용한 경우4
2C=π3\displaystyle \mathrm{C}=\dfrac{\pi}{3} 를 구한 경우4
3최종 답 32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}2
계10

실전 조언 · sin⁡(A+B)=sin⁡C\displaystyle \sin(A+B)=\sin C 라는 성질을 써서 sin⁡2π3=32\displaystyle \sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} 로 바로 가도 된다. 두 방법이 같은 값을 주는지 확인한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수 13번

3번10점수학Ⅰ · 등차·등비수열

첫째항이 2\displaystyle 2 , 공차가 d (d≠0)\displaystyle d\ (d\ne 0) 인 등차수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 에서 a3\displaystyle a_3 , a6\displaystyle a_6 , a11\displaystyle a_{11} 이 이 순서로 등비수열을 이룬다. d\displaystyle d 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · d=45\displaystyle d=\dfrac{4}{5}

해설

  1. 1.a3=2+2d\displaystyle a_3=2+2d , a6=2+5d\displaystyle a_6=2+5d , a11=2+10d\displaystyle a_{11}=2+10d 이다.
  2. 2.세 수가 이 순서로 등비수열을 이루면 가운데 항의 제곱이 양 끝 항의 곱과 같다. 즉 (2+5d)2=(2+2d)(2+10d)\displaystyle (2+5d)^2=(2+2d)(2+10d)
  3. 3.좌변은 4+20d+25d2\displaystyle 4+20d+25d^2 , 우변은 4+20d+4d+20d2=4+24d+20d2\displaystyle 4+20d+4d+20d^2=4+24d+20d^2
  4. 4.정리하면 25d2+20d=20d2+24d\displaystyle 25d^2+20d=20d^2+24d , 즉 5d2−4d=0\displaystyle 5d^2-4d=0 , d(5d−4)=0\displaystyle d(5d-4)=0
  5. 5.d≠0\displaystyle d\ne 0 이므로 d=45\displaystyle d=\dfrac{4}{5}

채점 포인트

1세 항을 d\displaystyle d 로 나타낸 경우2
2등비중항 관계 (a6)2=a3a11\displaystyle (a_6)^2=a_3a_{11} 을 세운 경우3
3전개해 5d2−4d=0\displaystyle 5d^2-4d=0 을 얻은 경우3
4d≠0\displaystyle d\ne 0 조건으로 d=0\displaystyle d=0 을 버린 경우1
5최종 답 45\displaystyle \dfrac{4}{5}1
계10

실전 조언 · 등비중항은 "가운데의 제곱 = 양 끝의 곱"이다. 등차중항("가운데의 2배 = 양 끝의 합")과 헷갈리지 않는다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 32번

4번10점수학Ⅰ · 로그방정식

방정식 log⁡2(x2−2x)=3\displaystyle \log_2(x^2-2x)=3 의 해를 모두 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · x=4\displaystyle x=4 , x=−2\displaystyle x=-2

해설

  1. 1.로그가 정의되려면 진수가 양수여야 하므로 x2−2x>0\displaystyle x^2-2x>0 , 즉 x(x−2)>0\displaystyle x(x-2)>0 에서 x<0\displaystyle x<0 또는 x>2\displaystyle x>2 ⋯\displaystyle \cdots ㉠
  2. 2.로그의 정의에 의하여 x2−2x=23=8\displaystyle x^2-2x=2^3=8
  3. 3.x2−2x−8=0\displaystyle x^2-2x-8=0 , (x−4)(x+2)=0\displaystyle (x-4)(x+2)=0 에서 x=4\displaystyle x=4 또는 x=−2\displaystyle x=-2
  4. 4.두 값 모두 ㉠을 만족시키므로 (4>2\displaystyle 4>2 이고 −2<0\displaystyle -2<0) 해는 x=4\displaystyle x=4 와 x=−2\displaystyle x=-2 이다.

채점 포인트

1진수 조건 x<0\displaystyle x<0 또는 x>2\displaystyle x>2 를 구한 경우3
2x2−2x=8\displaystyle x^2-2x=8 을 세운 경우3
3두 근을 구한 경우2
4두 근이 모두 진수 조건을 만족시킴을 확인한 경우1
5최종 답 x=4\displaystyle x=4 , x=−2\displaystyle x=-21
계10

실전 조언 · 진수 조건이 x>0\displaystyle x>0 이 아니라 부등식이라 근을 버리지 않는 경우도 있다. 습관적으로 음수 근을 버리면 답이 반쪽이 된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 25번

5번10점수학Ⅱ · 함수의 극한

lim⁡x→1x2+ax+bx2−1=2\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2+ax+b}{x^2-1}=2 일 때, 두 상수 a\displaystyle a , b\displaystyle b 에 대하여 a+b\displaystyle a+b 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · −1\displaystyle -1

해설

  1. 1.x→1\displaystyle x\to 1 일 때 분모 x2−1→0\displaystyle x^2-1\to 0 이고 극한값이 존재하므로 분자도 0\displaystyle 0 으로 가야 한다. 즉 1+a+b=0\displaystyle 1+a+b=0 ⋯\displaystyle \cdots ㉠
  2. 2.따라서 x2+ax+b\displaystyle x^2+ax+b 는 x−1\displaystyle x-1 을 인수로 가지므로 x2+ax+b=(x−1)(x−c)\displaystyle x^2+ax+b=(x-1)(x-c) 로 놓는다.
  3. 3.분모는 x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1) 이므로 x≠1\displaystyle x\ne 1 에서 주어진 식은 x−cx+1\displaystyle \dfrac{x-c}{x+1}
  4. 4.lim⁡x→1x−cx+1=1−c2=2\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-c}{x+1}=\dfrac{1-c}{2}=2 에서 1−c=4\displaystyle 1-c=4 , 즉 c=−3\displaystyle c=-3
  5. 5.(x−1)(x+3)=x2+2x−3\displaystyle (x-1)(x+3)=x^2+2x-3 이므로 a=2\displaystyle a=2 , b=−3\displaystyle b=-3 이고 a+b=−1\displaystyle a+b=-1

채점 포인트

1(분모)→0\displaystyle \to 0 이고 극한이 존재하므로 (분자)→0\displaystyle \to 0 임을 밝힌 경우3
2분모와 분자를 모두 인수분해해 약분한 경우3
3c=−3\displaystyle c=-3 에서 a=2\displaystyle a=2 , b=−3\displaystyle b=-3 을 구한 경우3
4최종 답 −1\displaystyle -11
계10

실전 조언 · ㉠으로 검산한다. 1+2−3=0\displaystyle 1+2-3=0 이므로 맞다. 두 조건이 서로 맞는지 확인하는 습관이 실수를 막는다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 21번

6번10점수학Ⅱ · 도함수의 활용

함수 f(x)=x3+ax2+bx+c\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+c 가 x=1\displaystyle x=1 에서 극댓값 3\displaystyle 3 을 갖고 x=3\displaystyle x=3 에서 극솟값을 갖는다. 그 극솟값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, a\displaystyle a , b\displaystyle b , c\displaystyle c 는 상수이다.) (10점)

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정답 · −1\displaystyle -1

해설

  1. 1.f′(x)=3x2+2ax+b\displaystyle f'(x)=3x^2+2ax+b 이고 x=1\displaystyle x=1 , x=3\displaystyle x=3 에서 극값을 가지므로 이 둘은 f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 의 두 근이다.
  2. 2.근과 계수의 관계에서 1+3=−2a3\displaystyle 1+3=-\dfrac{2a}{3} , 1×3=b3\displaystyle 1\times 3=\dfrac{b}{3} 이므로 a=−6\displaystyle a=-6 , b=9\displaystyle b=9
  3. 3.따라서 f(x)=x3−6x2+9x+c\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x+c 이고, 극댓값이 f(1)=1−6+9+c=4+c=3\displaystyle f(1)=1-6+9+c=4+c=3 이므로 c=−1\displaystyle c=-1
  4. 4.즉 f(x)=x3−6x2+9x−1\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x-1
  5. 5.극솟값은 f(3)=27−54+27−1=−1\displaystyle f(3)=27-54+27-1=-1

채점 포인트

1근과 계수의 관계로 a=−6\displaystyle a=-6 , b=9\displaystyle b=9 를 구한 경우3
2극댓값 조건에서 c=−1\displaystyle c=-1 을 구한 경우3
3f(3)\displaystyle f(3) 을 계산한 경우3
4최종 답 −1\displaystyle -11
계10

실전 조언 · 미지수가 셋이면 조건도 셋 필요하다. "x=1\displaystyle x=1 에서 극대", "x=3\displaystyle x=3 에서 극대 아닌 극값", "극댓값이 3\displaystyle 3" 이 각각 하나씩이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 28번

7번10점수학Ⅱ · 정적분

함수 f(x)=x3−2x\displaystyle f(x)=x^3-2x 에 대하여 ∫13f′(x) dx\displaystyle \displaystyle\int_1^3 f'(x)\,dx 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 22\displaystyle 22

해설

  1. 1.미적분의 기본정리에 의하여 ∫13f′(x) dx=[f(x)]13=f(3)−f(1)\displaystyle \displaystyle\int_1^3 f'(x)\,dx=\left[f(x)\right]_1^3=f(3)-f(1)
  2. 2.f(3)=27−6=21\displaystyle f(3)=27-6=21
  3. 3.f(1)=1−2=−1\displaystyle f(1)=1-2=-1
  4. 4.따라서 f(3)−f(1)=21−(−1)=22\displaystyle f(3)-f(1)=21-(-1)=22

채점 포인트

1∫abf′(x)dx=f(b)−f(a)\displaystyle \displaystyle\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a) 임을 밝힌 경우4
2f(3)=21\displaystyle f(3)=21 , f(1)=−1\displaystyle f(1)=-1 을 구한 경우3
3두 값을 뺀 경우2
4최종 답 22\displaystyle 221
계10

실전 조언 · f′\displaystyle f' 를 직접 구해 적분해도 되지만(f′=3x2−2\displaystyle f'=3x^2-2), 기본정리를 쓰면 한 줄이다. 이 관계를 적는 것이 4점이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 23번

8번15점수학Ⅱ · 정적분의 활용

두 곡선에 대하여 다음을 생각하자.

(가) 두 곡선은 y=x2\displaystyle y=x^2 과 y=−x2+2x+4\displaystyle y=-x^2+2x+4 이다.

(나) 두 곡선은 서로 다른 두 점에서 만난다.

두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)

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정답 · 9\displaystyle 9

해설

  1. 1.교점을 구하면 x2=−x2+2x+4\displaystyle x^2=-x^2+2x+4 에서 2x2−2x−4=0\displaystyle 2x^2-2x-4=0 , 즉 x2−x−2=0\displaystyle x^2-x-2=0
  2. 2.(x+1)(x−2)=0\displaystyle (x+1)(x-2)=0 이므로 교점의 x\displaystyle x 좌표는 x=−1\displaystyle x=-1 , x=2\displaystyle x=2 이다.
  3. 3.−1<x<2\displaystyle -1<x<2 에서 (−x2+2x+4)−x2=−2x2+2x+4=−2(x+1)(x−2)>0\displaystyle (-x^2+2x+4)-x^2=-2x^2+2x+4=-2(x+1)(x-2)>0 이므로 y=−x2+2x+4\displaystyle y=-x^2+2x+4 가 위에 있다.
  4. 4.따라서 넓이는 ∫−12(−2x2+2x+4) dx=[−23x3+x2+4x]−12\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2}(-2x^2+2x+4)\,dx=\left[-\dfrac{2}{3}x^3+x^2+4x\right]_{-1}^{2}
  5. 5.=(−163+4+8)−(23+1−4)=203−(−73)\displaystyle =\left(-\dfrac{16}{3}+4+8\right)-\left(\dfrac{2}{3}+1-4\right)=\dfrac{20}{3}-\left(-\dfrac{7}{3}\right)
  6. 6.=20+73=9\displaystyle =\dfrac{20+7}{3}=9

채점 포인트

1교점의 방정식을 세우고 정리한 경우3
2교점의 x\displaystyle x 좌표 −1\displaystyle -1 , 2\displaystyle 2 를 구한 경우3
3구간에서 어느 곡선이 위인지 판정한 경우4
4정적분을 세우고 계산한 경우3
5최종 답 9\displaystyle 92
계15

실전 조언 · 차 함수의 이차항 계수가 −2\displaystyle -2 이므로 ∣a∣(β−α)36=2×276=9\displaystyle \dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}=\dfrac{2\times 27}{6}=9 로 검산된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 33번

9번15점수학Ⅱ · 정적분으로 정의된 함수

함수 g(x)=∫0x(t−1)(t−3) dt\displaystyle g(x)=\displaystyle\int_0^x(t-1)(t-3)\,dt 에 대하여 다음을 구하시오.

(가) g(x)\displaystyle g(x) 가 극값을 갖는 x\displaystyle x 의 값

(나) g(x)\displaystyle g(x) 의 극댓값과 극솟값의 차

그 과정을 서술하시오. (15점)

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정답 · (가) x=1\displaystyle x=1 , x=3\displaystyle x=3 (나) 43\displaystyle \dfrac{4}{3}

해설

  1. 1.미적분의 기본정리에 의하여 g′(x)=(x−1)(x−3)\displaystyle g'(x)=(x-1)(x-3) 이다.
  2. 2.g′(x)=0\displaystyle g'(x)=0 에서 x=1\displaystyle x=1 또는 x=3\displaystyle x=3 이고, x<1\displaystyle x<1 에서 g′>0\displaystyle g'>0 , 1<x<3\displaystyle 1<x<3 에서 g′<0\displaystyle g'<0 , x>3\displaystyle x>3 에서 g′>0\displaystyle g'>0 이므로 x=1\displaystyle x=1 에서 극대, x=3\displaystyle x=3 에서 극소이다.
  3. 3.g(x)=∫0x(t2−4t+3) dt=[t33−2t2+3t]0x=x33−2x2+3x\displaystyle g(x)=\displaystyle\int_0^x(t^2-4t+3)\,dt=\left[\dfrac{t^3}{3}-2t^2+3t\right]_0^x=\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x
  4. 4.극댓값은 g(1)=13−2+3=13+1=43\displaystyle g(1)=\dfrac{1}{3}-2+3=\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}
  5. 5.극솟값은 g(3)=9−18+9=0\displaystyle g(3)=9-18+9=0
  6. 6.따라서 극댓값과 극솟값의 차는 43−0=43\displaystyle \dfrac{4}{3}-0=\dfrac{4}{3}

채점 포인트

1g′(x)=(x−1)(x−3)\displaystyle g'(x)=(x-1)(x-3) 임을 밝힌 경우3
2증감을 조사해 극대·극소를 판정한 경우3
3g(x)=x33−2x2+3x\displaystyle g(x)=\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x 를 구한 경우4
4극댓값 43\displaystyle \dfrac{4}{3} , 극솟값 0\displaystyle 0 을 구한 경우3
5최종 답 43\displaystyle \dfrac{4}{3}2
계15

실전 조언 · g(0)=0\displaystyle g(0)=0 이므로 적분상수가 0\displaystyle 0 이다. 아래끝이 0\displaystyle 0 인 정적분의 편리한 점이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 29번