D154속도와 움직인 거리

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t\ (t\ge 0)$ 에서 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 의 속도를 각각 $\displaystyle v_1(t)$ , $\displaystyle v_2(t)$ 라 하면 $\displaystyle v_1(t)=3t^2+kt+k,\qquad v_2(t)=2t-4$ 이다. 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 는 출발한 후 시각 $\displaystyle t=a$ 일 때 동시에 운동 방향을 바꾼다. 시각 $\displaystyle t=a$ 일 때 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 사이의 거리를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle k,\ a$ 는 상수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 시각 t=0에 동시에 원점을 출발한 두 점의 속도를 적분해 위치를 구하고 특정 시각의 두 점 사이 거리를 묻는다. 논술은 v=0이 되는 시각이 같다는 조건으로 k=-4를 먼저 정하는 단계가 더 붙었다.

두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 와 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 는 시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 각각 점 $\displaystyle \mathrm{A}(3)$ 과 점 $\displaystyle \mathrm{B}(20)$ 에서 출발하여 수직선 위를 움직인다. 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 시각 $\displaystyle t\,(t \ge 0)$ 에서의 속도는 각각 $\displaystyle v_1(t)=3t^2+4t-20,\qquad v_2(t)=2t+9$ 이다. 출발한 시각부터 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 사이의 거리가 처음으로 $\displaystyle 12$ 가 될 때까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 움직인 거리를 구하시오. (12점)

교재와 닮은 점 · 교재는 수직선 위 두 점 P, Q의 속도·가속도를 적분해 두 점 사이의 거리와 P가 움직인 거리를 다루고, 논술도 v1=3t^2+4t-20, v2=2t+9를 적분해 PQ 거리가 12가 될 때까지 P의 움직인 거리를 구한다. 기존 무관 판정을 대체한다.

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t\ (t\geq 0)$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도 $\displaystyle v_1(t)$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 가속도 $\displaystyle a_2(t)$ 는 $\displaystyle v_1(t)=-\frac{1}{2}t^2+\frac{5}{2}t,\qquad a_2(t)=2t-\frac{1}{2}$ 이다. 시각 $\displaystyle t=k$ 일 때, 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 속도가 같고 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 가속도가 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 가속도의 $\displaystyle 7$ 배이다. $\displaystyle t=0$ 에서 $\displaystyle t=k$ 까지 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 움직인 거리의 차를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle k$ 는 상수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강은 '시각 t=0에 동시에 원점을 출발한 두 점 P,Q'에서 P의 속도 v₁(t)와 Q의 가속도 a₂(t)를 주는 완전히 같은 설정이며, 움직인 거리를 정적분으로 구한다. 논술도 v₁, a₂를 주고 |v|의 정적분으로 거리를 구한다.

다른 점 · 논술은 t=k에서 속도가 같고 가속도가 7배라는 조건으로 k와 적분상수를 정한 뒤 두 거리의 차를 묻는다.

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t\ (t\ge 0)$ 에서의 속도 $\displaystyle v(t)$ 가 두 상수 $\displaystyle a,\ b\ (a>4b>0)$ 에 대하여 $\displaystyle v(t)=6t^2-(a+8b)t+(a+2b)b$ 일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 시각 $\displaystyle t=t_1$ 과 $\displaystyle t=t_2$ 에서 운동 방향을 바꾸고 $\displaystyle t_2-t_1=\frac{1}{3}$ 이다.(나) 시각 $\displaystyle t=0$ 에서 $\displaystyle t=b$ 까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 움직인 거리는 $\displaystyle 3$ 이다.시각 $\displaystyle t=2$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치를 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 속도가 0이 되는 시각을 경계로 부호를 나누어 움직인 거리 ∫|v(t)|dt를 정적분으로 계산한다.

다른 점 · 교재는 v가 주어진 상태에서 거리를 구하지만, 논술은 운동 방향이 바뀌는 두 시각의 차와 거리 조건으로 미지수 a, b를 역으로 정한다.

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t\,(t\ge 0)$ 에서의 위치 $\displaystyle x(t)$ 가 두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle x(t)=\frac{1}{3}t^3+at^2+bt$ 일 때, 시각 $\displaystyle t$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도 $\displaystyle v(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle v(1)=0$ (나) $\displaystyle \int_0^3 |v(t)|\,dt=\frac{23}{3}$ 시각 $\displaystyle t=6$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a\le -2$ ) (15점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 속도가 0이 되는 시각으로 구간의 부호를 나누고, 움직인 거리(∫|v|dt) 조건을 이용해 속도식에 든 상수를 역으로 결정한다.

다른 점 · 교재는 조각 일차함수 속도에서 상수 k 하나를 구하지만, 논술은 이차 속도식에서 a, b 두 미지수를 연립해야 한다.