D137정적분으로 정의된 함수의 극한

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle 4f(x)=-2x^3+6x+\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{1}^{1+h}\{f(t)\}^2\,dt$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle f(x)$ 의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · lim_{h→0}(1/h)∫_1^{1+h} g(t)dt=g(1)이라는 정적분으로 정의된 함수의 극한을 그대로 사용한다.

다른 점 · 수특은 그 값을 계산하는 데서 끝나지만, 논술은 그 값이 {f(1)}^2임을 이용해 f를 결정하고 극댓값·극솟값까지 구한다.

함수 $\displaystyle f(x)=x^2+ax+b$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle f(a)+f(b)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이다.) (10점)(가) $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\dfrac{1}{3}$ (나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\left\{\dfrac{x^2+x+1}{x}\displaystyle\int_1^{x+1} f(t)\,dt\right\}=3$

교재와 닮은 점 · 수능특강은 정적분 상수를 포함한 등식으로 f를 정한 뒤 lim(x→1)(1/(x-1))∫₁ˣf(t)dt=f(1)을 쓰게 한다. 논술의 조건 (나)도 lim(x→0)(1/x)∫₁^{x+1}f=f(1) 로 같은 정리를 쓴다.

다른 점 · 논술은 그 극한을 f의 미정계수(a,b)를 결정하는 조건으로 뒤집어 썼다.

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle f(x)$ 의 최솟값은 음수이다.(나) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=f(2)$ 가 서로 다른 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ 에서 만나고 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ 의 $\displaystyle x$ 좌표의 합은 6이다.(다) $\displaystyle \lim\limits_{x\to5}\dfrac{1}{x-5}\left\{\displaystyle\int_a^x |f(t)|\,dt-2\int_a^3 |f(t)|\,dt\right\}=6$ $\displaystyle a\,f(3)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 2023 수능특강 29번은 최고차항의 계수가 1인 이차함수 f에 대해 lim(x→1) (1/(x-1))∫₁ˣ f(t)dt = f(1) 임을 쓰는 문항이다. 논술의 조건 (다)도 같은 최고차항 계수 1인 이차함수에서 분자→0 조건으로 ∫_a^5|f|=2∫_a^3|f|를 얻고 극한값이 |f(5)|=6 임을 쓰는 같은 정리를 사용한다.