D122정적분의 기본 정리

교재 6문항 · 논술 기출 2문항

핵심

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt=f(x)$ 이고 $\displaystyle\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a)$ 다. 적분 구간에 $x$ 가 들어 있으면 양변을 미분하고, 위끝과 아래끝이 같아지는 $x$ 를 대입한다 — 이 두 수가 전부다.

해법

1등식의 양변을 $x$ 에 대해 미분한다.
2적분 구간이 한 점으로 만나는 $x$ 를 대입해 $\int_a^a=0$ 을 쓴다.
3두 식을 합쳐 미정계수와 $f$ 를 확정한다.
4피적분함수에 $t$ 가 곱해져 있으면( $\int tf(t)\,dt$ ) 미분할 때 $xf(x)$ 가 나온다는 점에 주의한다.

공략

· $\displaystyle\int_2^xf'(t)\,dt=f(x)-f(2)$ 는 미분하기 전에 바로 읽힌다. 기계적으로 미분하기 전에 형태를 먼저 본다.
· $x=a$ 대입으로 상수항을 정하는 한 줄을 빠뜨리면 미정계수가 끝까지 남아 답이 나오지 않는다.
· 양변의 차수를 비교하면 $f$ 의 차수가 먼저 정해진다. 좌변이 $x$ 에 대한 $n$ 차식이면 피적분함수는 $n-1$ 차다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	6	—	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	7%/92문항	0%/62문항	0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2025 가천대 9번10점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^x t\,f(t)\,dt=f(x)+ax^3+x^2+x-2$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle f(a)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강은 ∫₀ˣ f(t)dt=f(x)+x³+ax 에서 f(a)를 묻고, 논술은 ∫₀ˣ t f(t)dt=f(x)+ax³+x²+x-2 에서 f(a)를 묻는다. 차수 비교로 f를 일차식으로 잡고 x=0 대입 후 계수비교하는 절차가 동일하다.

다른 점 · 피적분함수가 f(t)에서 t f(t)로 바뀌고 우변 항이 늘어난 정도.

2025 한국기술교육대 6번12점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^x \left(2t^4+at^2+bt\right)dt=\int_0^x \left(2t+f(t)\right)dt+x^3+a$ 를 만족시킨다. $\displaystyle f(1)=-2$ 일 때, $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx$ 의 값을 구하시오. (12점)

교재와 닮은 점 · 교재는 ∫_0^x f(t)dt=f(x)+x^3+ax에서 x=0 대입과 양변 미분으로 f를 찾고, 논술도 양변이 적분으로 주어진 등식에 x=0을 넣어 a=0을 얻은 뒤 미분해 f(x)를 확정한다.

다른 점 · 논술은 좌·우변 모두 적분 꼴이고 마지막에 ∫_0^1 f(x)dx까지 계산하게 했다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2025학년도 완성수학Ⅱ 06. 다항함수의 적분법 5번

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) =6x^{{2}} -6x-5}$ 에 대하여

$\displaystyle{\displaystyle \int_{{-1}}^{{0}} {f \left ( x \right ) dx} = \displaystyle \int_{{-1}}^{{a}} {f \left ( x \right ) dx}}$

를 만족시키는 양수 $\displaystyle{a }$ 의 값은?

2025학년도 특강수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분 0번

다항함수 $\displaystyle{f(x)}$ 가 모든 실수 $\displaystyle{x}$ 에 대하여

$\displaystyle{\\ \int_{2}^{x} f^{\prime}(t) d t=(x-3)^{3}+a\\}$

를 만족시킬 때, $\displaystyle{f(3)-f(2)}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle{a}$ 는 상수이다.)

2025학년도 특강수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분 0번

다항함수 $\displaystyle{f(x)}$ 에 대하여 $\displaystyle{f^{\prime}(x)=4 x^{3}+6 x}$ 일 때, $\displaystyle{f(1)-f(0)}$ 의 값을 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분 0번

두 다항함수 $\displaystyle{f(x), g(x)}$ 가 모든 실수 $\displaystyle{x}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

$\displaystyle{\int f^{\prime}(x) d x=g^{\prime}(x)+\int 6 x d x\\}$
$\displaystyle{\int f(x) d x=x g(x)-\int g(x) d x}$

$\displaystyle{\\ f(1)=g(1)}$ 일 때, $\displaystyle{g(2)}$ 의 값을 구하시오.

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