🛠️ 2026학년도 한기대 수리논술 기출

정의역이 $\displaystyle \{x \mid 0 \le x \le 2\}$ 인 함수 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+1$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $\displaystyle M$ , $\displaystyle m$ 이라 하자. 정의역이 $\displaystyle \{x \mid 0 \le x \le 1\}$ 인 함수 $\displaystyle g(x)=-a^{x}+b$ 의 최댓값과 최솟값이 각각 $\displaystyle -m$ , $\displaystyle -M$ 일 때, $\displaystyle a+b$ 의 값을 구하시오.(단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이고, $\displaystyle a>1$ ) (4점)

정의역이 $\displaystyle \{x \mid x>0\}$ 인 함수 $\displaystyle f(x)=\log_5\left(10x^2+35\right)$ 에 대하여 $\displaystyle \left(f^{-1}\circ f^{-1}\right)(3)$ 의 값을 구하시오. (4점)

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 양의 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle f\left(\frac{x-3}{5}\right) \le \frac{1}{5}x^2 \le f\left(\frac{x-1}{5}\right)$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{7x^2+4}$ 의 값을 구하시오. (8점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \left(2,\ f(2)\right)$ 에서의 접선을 $\displaystyle l$ , 함수 $\displaystyle g(x)=\frac{1}{8}x^3 f(x)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle \left(2,\ g(2)\right)$ 를 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선을 $\displaystyle m$ 이라 하자. 직선 $\displaystyle l$ 의 방정식이 $\displaystyle y=-3x+9$ 일 때, 두 직선 $\displaystyle l$ , $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (8점)

정의역이 $\displaystyle \{x \mid x \ge 0\}$ 인 함수 $\displaystyle f(x)=x^2-2(\sin\theta)x+\cos^2\theta-\sin\theta+1$ 의 최솟값이 $\displaystyle 1$ 일 때, 이를 만족시키는 모든 실수 $\displaystyle \theta$ 의 값의 합을 구하시오. (단, $\displaystyle 0 \le \theta < 2\pi$ ) (8점)

양수 $\displaystyle a$ 와 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\begin{cases} 2f(|x|) & (|x| \le a) \\[4pt] -f(2a-|x|) & (|x|>a) \end{cases}$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 양수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (12점)

(가) $\displaystyle f(a)=-\dfrac{81}{8}$

(나) 두 함수 $\displaystyle f(x-a)g(x)$ 와 $\displaystyle f(x)g(x-a)$ 가 모두 실수 전체의 집합에서 연속이다.

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle f(1)=0$

(나) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle (x-3)f(x) \ge 0$ 이 성립한다.실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle f(x)-(x-1)f'(k)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 2$ 가 되도록 하는 모든 실수 $\displaystyle k$ 의 값의 합을 구하시오. (12점)

두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 와 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 는 시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 각각 점 $\displaystyle \mathrm{A}(3)$ 과 점 $\displaystyle \mathrm{B}(20)$ 에서 출발하여 수직선 위를 움직인다. 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 시각 $\displaystyle t\,(t \ge 0)$ 에서의 속도는 각각 $\displaystyle v_1(t)=3t^2+4t-20,\qquad v_2(t)=2t+9$ 이다. 출발한 시각부터 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 사이의 거리가 처음으로 $\displaystyle 12$ 가 될 때까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 움직인 거리를 구하시오. (12점)

실수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 정의역이 $\displaystyle \left\{x \,\middle|\, 0 \le x \le \dfrac{\pi}{3}\right\}$ 인 함수 $\displaystyle f(x)=\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+a\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+b$ 의 최댓값을 $\displaystyle M$ , 최솟값을 $\displaystyle m$ 이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle a=\dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle b=1$ 일 때, $\displaystyle M$ 과 $\displaystyle m$ 의 값을 각각 구하시오. (8점)

(2) $\displaystyle M=5$ , $\displaystyle m=-3$ 을 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle (a,\ b)$ 를 모두 구하시오. (8점) (16점)

자연수 $\displaystyle n$ 과 $\displaystyle 0<t<n$ 인 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=x^2-2nx+n^2$ 의 그래프 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(t,\ f(t)\right)$ 에서의 접선을 $\displaystyle l_n$ 이라 하자. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 접선 $\displaystyle l_n$ 및 $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle a_n$ , 접선 $\displaystyle l_n$ 과 $\displaystyle x$ 축 및 $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle b_n$ 이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle a_3+b_3$ 의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 $\displaystyle t$ 의 개수를 구하시오. (8점)

(2) $\displaystyle a_n+b_n$ 의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 $\displaystyle t$ 의 개수를 $\displaystyle c_n$ 이라 할 때, $\displaystyle c_5+c_6+c_7$ 의 값을 구하시오. (8점) (16점)