⚙️ 2025학년도 한국공학대 논술 기출 (오후)

$\displaystyle \angle \mathrm{A}>\frac{\pi}{2}$ 인 이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에 대하여 $\displaystyle \sin A=\cos B,\qquad \overline{\mathrm{AC}}=2\sqrt{3}$ 이다. 다음은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 외접원의 넓이를 구하는 과정이다.

(1) ~ (4)에 알맞은 수를 구하시오. (10점)삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 는 $\displaystyle \angle \mathrm{A}>\frac{\pi}{2}$ 인 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$ …… ㉠ $\displaystyle \angle \mathrm{A}>\frac{\pi}{2}$ 이고 $\displaystyle \sin A=\cos B$ 이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{2}+\angle \mathrm{B}$ …… ㉡삼각형의 세 내각의 크기의 합은 $\displaystyle \pi$ 이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=\pi$ …… ㉢㉠, ㉡, ㉢에 의하여 $\displaystyle \angle \mathrm{A}=$

(1) , $\displaystyle \angle \mathrm{B}=$

(2) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 외접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$ 이라 하면 $\displaystyle R=$

(3) 이므로외접원의 넓이는

(4) 이다.

좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle (0,\,0)$ , $\displaystyle \left(\sqrt[3]{4},\ \sqrt[6]{2}\right)$ 를 지나는 직선이 직선 $\displaystyle ax+2y=1$ 과 서로 수직일 때, $\displaystyle a^2$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 하자. 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle S_{n+2}-S_n=10n+9$ 가 성립할 때, $\displaystyle a_3$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

두 함수 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)+3$ , $\displaystyle y=\log_2(x+k)$ 의 그래프가 제1사분면에서 만나도록 하는 모든 실수 $\displaystyle k$ 의 값의 범위가 $\displaystyle \alpha<k<\beta$ 일 때, $\displaystyle \log_4(\alpha+\beta)$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

두 다항함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\frac{g(x)-4}{x-2}=2f(2)$

(나) $\displaystyle f(x)g(x)=x^4-x^2$ $\displaystyle f'(2)$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

두 자연수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{b^2}{x^2+bx+1} & (x\neq 0)\\[8pt] \dfrac{a^2}{4} & (x=0)\end{cases}$ 이다. 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에서 연속일 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

실수 $\displaystyle k\,(k>1)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=x^2-x$ 와 직선 $\displaystyle y=kx$ 가 만나는 두 점 중 원점이 아닌 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라 하고, 직선 $\displaystyle y=kx$ 가 직선 $\displaystyle x=2k$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=x^2-x$ 와 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle A$ 라 하고, 곡선 $\displaystyle y=x^2-x$ 와 직선 $\displaystyle x=2k$ 및 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle B$ 라 하자. $\displaystyle A-B=\frac{8}{3}$ 일 때, $\displaystyle k$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.) (10점)

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t\,(t\ge 0)$ 에서의 위치 $\displaystyle x(t)$ 가 두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle x(t)=\frac{1}{3}t^3+at^2+bt$ 일 때, 시각 $\displaystyle t$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도 $\displaystyle v(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle v(1)=0$

(나) $\displaystyle \int_0^3 |v(t)|\,dt=\frac{23}{3}$ 시각 $\displaystyle t=6$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a\le -2$ ) (15점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt=\frac{1}{6}x^4+ax^3+bx^2$ 이다.

(나) $\displaystyle |f'(-1)|+|f'(2)|=0$ 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\frac{1}{4}\left|3f(x)-24x-4\right|$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=k$ 가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 모든 자연수 $\displaystyle k$ 의 개수를 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)