D131적분구간이 상수인 정적분을 포함한 등식에서 함수 f(x)의 결정3년 연속

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt=x^4+ax^3+x^2\int_2^3 tf'(t)\,dt+52x$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle f(2)$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · ∫_a^x f(t)dt=(다항식)+x^k×(상수 정적분) 꼴에서 상수 정적분을 미지수로 놓고, 양변에 특정 x를 대입하고 미분해 f를 결정하는 절차가 같다.

다른 점 · 수특의 상수항은 ∫_1^2 f(t)dt지만 논술은 ∫_2^3 t f'(t)dt라 구한 f'를 다시 대입해 자기참조 방정식을 푸는 한 단계가 더 있다.

두 다항함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle g(x)=x^2+\int_0^1 (2x+t)f(t)\,dt,\qquad \int_1^x f(t)\,dt=xg(x)+2x+2$ 를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (10점)(1) 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 구하시오.(2) 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 구하시오.(3) 직선 $\displaystyle y=2$ 와 곡선 $\displaystyle y=f(x)-g(x)$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.(1) $\displaystyle g(x)=$ __________ (3.6점)(2) $\displaystyle f(x)=$ __________ (3.7점)(3) 넓이 $\displaystyle =$ __________ (2.7점)

교재와 닮은 점 · 교재 22번은 ∫_2^x f(t)dt=x^3+ax^2+x∫_1^2 f(t)dt처럼 상수 정적분이 섞인 등식을 미분·대입해 f를 찾는데, 논술도 ∫_0^1 f(t)dt와 ∫_0^1 t f(t)dt를 상수로 두고 ∫_1^x f=xg(x)+2x+2를 미분해 f, g를 확정한다.

다른 점 · 논술은 f와 g 두 함수의 연립이고 마지막에 y=2와 y=f-g로 둘러싸인 넓이까지 구한다.

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{-1}^{x} f(t)\,dt = x^3+ax^2+\int_{-1}^{1} f(t)\,dt$ 를 만족시킨다. 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\int_{-1}^{x} f(t)\,dt$ 라 할 때, $\displaystyle g(3)$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 좌변이 ∫_c^x f(t)dt 꼴인 항등식에서 x=c(적분 하한)를 대입해 상수 a를 정하고 양변을 미분해 f(x)를 얻는다.

다른 점 · 교재는 f(-1)을 묻고 논술은 얻은 f로 g(3)=∫_{-1}^3 f(t)dt를 다시 계산한다.

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle 4x^2-2f(x)=x+1+f(-x)$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx$ 의 값을 구하시오. (12점)

교재와 닮은 점 · 교재 10번은 정적분을 상수로 두고 계수를 비교해 다항함수를 결정하는데, 논술도 4x^2-2f(x)=x+1+f(-x)에서 f를 이차식으로 두고 계수를 비교해 결정한 뒤 정적분을 계산한다.

다른 점 · 논술의 관계식은 정적분이 아니라 f(x)와 f(-x)의 항등식이다.