🌱 2025학년도 가천대 자연 논술 기출 (3세트)

공비 $\displaystyle r$ 가 음수인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 하자. $\displaystyle \frac{S_4-S_1}{S_{10}-S_4}=\frac{64}{9}$ 일 때, $\displaystyle r$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a_1\neq 0$ , $\displaystyle r\neq -1$ ) (10점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^4-5}-f(x)}{6x^2+1}=\frac{1}{3}$ 일 때, 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\begin{cases} f(1-x)-f(x) & (x<1)\\ f(x) & (x\geq 1)\end{cases}$ 이라 하자. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=1$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle f(3)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=5^{3x+3}-5^{2x+\log_2 k}$ 의 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle a$ 라 하자. $\displaystyle 1\leq a\leq 3$ 을 만족시키는 모든 $\displaystyle k$ 의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 와 두 실수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle a+b+f(3)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

(가) 함수 $\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{f(x^2+9)}$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서만 불연속이다.

(나) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{f(x-2)}{f(x^2)}=b$

그림과 같이 중심이 $\displaystyle \mathrm{O}$ 이고 길이가 $\displaystyle 6$ 인 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PC}}$ 가 되도록 호 $\displaystyle \mathrm{PA}$ 위에 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 를 잡는다. 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$ 가 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{D}$ 라 하자. 사각형 $\displaystyle \mathrm{ACPD}$ 가 평행사변형일 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{AP}$ 의 길이와 $\displaystyle \sin(\angle \mathrm{PBC})$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2x\int_0^2 f(t)\,dt+\left(\int_0^2 \frac{f(t)}{\sqrt{2}}\,dt\right)^2$

(나) 임의의 두 실수 $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2\ (x_1<x_2)$ 에 대하여 $\displaystyle f(x_2)-3x_1^2>f(x_1)-3x_2^2$ 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle 0\leq x<1$ 일 때 $\displaystyle g(x)=f(x)+ax^2$ 이고, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle g(x+1)=g(x)+b$ 를 만족시킨다. $\displaystyle \displaystyle\int_2^3 g(x)\,dx=\frac{79}{12}$ 일 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이다.) (10점)

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 도함수가 $\displaystyle f'(x)=\begin{cases}-2 & (x>b)\\ -4x^3-12x^2-9x-2 & (x\leq b)\end{cases}$ 이다. 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle g(x)=|f(x)|$ 이고 세 집합 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ 를 $\displaystyle A=\left\{x\ \middle|\ \lim_{h\to 0-}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\lim_{h\to 0+}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=0\right\},$ $\displaystyle B=\left\{x\ \middle|\ \lim_{h\to 0-}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim_{h\to 0+}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=0\right\},$ $\displaystyle C=\{\,g(x)\mid x\in A\,\}$ 라 할 때, $\displaystyle n(A)=3$ , $\displaystyle n(B)=2$ , $\displaystyle n(C)=2$ 이다. 집합 $\displaystyle C$ 의 모든 원소를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t\ (t\geq 0)$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도 $\displaystyle v_1(t)$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 가속도 $\displaystyle a_2(t)$ 는 $\displaystyle v_1(t)=-\frac{1}{2}t^2+\frac{5}{2}t,\qquad a_2(t)=2t-\frac{1}{2}$ 이다. 시각 $\displaystyle t=k$ 일 때, 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 속도가 같고 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 가속도가 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 가속도의 $\displaystyle 7$ 배이다. $\displaystyle t=0$ 에서 $\displaystyle t=k$ 까지 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 움직인 거리의 차를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle k$ 는 상수이다.) (10점)

상수 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$ 에 대하여, 이차방정식 $\displaystyle 3x^2-\sqrt{5}\,x+a=0$ 의 해가 $\displaystyle \sin\theta$ , $\displaystyle \cos\theta$ 이다. $\displaystyle \sin\theta-\cos\theta$ 의 값을 $\displaystyle b$ 라 할 때, $\displaystyle ab$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)