D113부정적분을 이용한 함수의 결정

교재 6문항 · 논술 기출 1문항

핵심

$F'(x)=f(x)$ 이면 $F(x)=\int f(x)\,dx$ 다. 도함수와 한 점의 함숫값을 알면 함수가 완전히 정해진다 — 적분상수를 그 점으로 정하는 것이 이 유형의 전부다.

해법

1주어진 도함수를 적분해 $F(x)+C$ 를 쓴다.
2한 점의 함숫값(또는 지나는 점)을 대입해 $C$ 를 정한다.
3조건이 극값이면 $f'=0$ 과 함숫값 두 식을 함께 쓴다.
4구한 함수로 묻는 값을 계산한다.

공략

· 적분상수를 빠뜨리면 답이 반드시 틀린다. 적분한 줄마다 $+C$ 를 붙이는 습관이 그대로 점수다.
· $f'(x)$ 가 구간별로 다르면 각 구간에서 적분한 뒤 이음매에서 연속이라는 조건으로 상수들을 묶는다.
· 「 $f'(x)=$ (식) 이고 $f(0)=1$ 」 형태가 가장 흔하다. 조건이 두 개면 상수도 두 개 정할 수 있으니 미지수 개수를 먼저 센다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	4	2	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	4%/92문항	3%/62문항	0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2025 가천대 13번10점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle f(0)=1$ 이고, $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분 $\displaystyle F(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle F(x)=\dfrac{1}{2}\{f(x)\}^2$ 이다.(나) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \displaystyle\int_0^x \{t+g(t)\}\,dt=x+g(x)+\dfrac{x^3}{3}+a$ 이다. $\displaystyle \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^2}{1+x}\,dx+\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{f(x)}{1-x}\,dx+\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{g(x)}{x^2-1}\,dx$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강은 f(0)=-3, F(x)={f(x)}² 을 미분해 f=2ff' 에서 f를 결정한다. 논술 조건 (가)는 f(0)=1, F(x)=½{f(x)}² 로 같은 조작을 요구한다.

다른 점 · 논술은 g에 대한 정적분 등식을 더하고, 마지막에 분모가 같은 분수 정적분들의 합(수능특강 660a9ab4류) 계산까지 결합했다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 1번

두 이차함수 $\displaystyle{F \left ( x \right ) }$ , $\displaystyle{G \left ( x \right ) }$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle{G \left ( 1 \right ) }$ 의 값을 구하시오.

$\displaystyle{F ' \left ( x \right ) =G ' \left ( x \right ) =2x-4}$
함수 $\displaystyle{F \left ( x \right ) }$ 의 최솟값은 $\displaystyle{-1}$ 이다.
곡선 $\displaystyle{y=F \left ( x \right ) }$ 의 꼭짓점을 $\displaystyle{y }$ 축의 방향으로 $\displaystyle{3 }$ 만큼 평행이동한 점은 곡선 $\displaystyle{y=G \left ( x \right ) }$ 위에 있다.

2025학년도 특강수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분 0번

최고차항의 계수가 $\displaystyle{1}$ 인 이차함수 $\displaystyle{f(x)}$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle{F(x)}$ 라 하자. $\displaystyle{\\}$ 두 함수 $\displaystyle{f(x), F(x)}$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle{F(4)}$ 의 값을 구하시오.

$\displaystyle{f(1)=0, F(1)=0\\}$
집합 $\displaystyle{\{x \mid F(x)=0, x}$ 는 실수 $\displaystyle{\}}$ 의 모든 원소의 합은 $\displaystyle{-1}$ 이다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 34번

최고차항의 계수가 $\displaystyle{1 }$ 인 이차함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle{F \left ( x \right ) }$ 라 하자. 두 집합 $\displaystyle{A={\left\lbrace x|f(x)\right.}=0,~x}$ 는 정수 $\displaystyle{\}}$ , $\displaystyle{B={\left\lbrace x|F(x\ )\right.}=0,~x}$ 는 실수 $\displaystyle{\}}$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 에 대하여 $\displaystyle{f \left ( 10 \right ) }$ 의 최댓값과 최솟값의 차는?

$\displaystyle{0 \in \left ( A \cap B \right ) }$ , $\displaystyle{n \left ( A \right ) =n \left ( B \right ) }$
집합 $\displaystyle{B }$ 의 어떤 원소는 $\displaystyle{50}$ 이하의 자연수이다.

2025학년도 특강수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분 0번

다항함수 $\displaystyle{f(x)}$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle{F(x)}$ 라 하자. $\displaystyle{f(0)=-3}$ 이고 모든 실수 $\displaystyle{x}$ 에 대하여 $\displaystyle{F(x)=\{f(x)\}^{2}}$ 이 성립할 때, $\displaystyle{4 F(1)}$ 의 값을 구하시오.

같은 단원의 다른 개념

D154 속도와 움직인 거리기출 5공략 D131 적분구간이 상수인 정적분을 포함한 등식에서 함수 f(x)의 결정기출 4공략 D137 정적분으로 정의된 함수의 극한기출 3공략 D149 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이기출 3공략 D122 정적분의 기본 정리기출 2공략 D126 절댓값 기호를 포함한 정적분의 계산기출 2공략 D151 함수와 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이기출 2공략 D130 평행이동 또는 대칭이동한 함수의 정적분 계산기출 2공략