D149곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이

교재 4문항 · 논술 기출 3문항

핵심

곡선과 접선 사이의 넓이는 $\displaystyle\int(\text{곡선}-\text{접선})dx$ . 접점에서 **중근**이 생기므로 피적분함수는 $a(x-\alpha)^2$ 꼴로 깔끔하게 떨어진다.

해법

1접점을 정하고 접선 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ 를 구한다.
2차 함수 $g(x)=f(x)-(\text{접선})$ 을 만든다. 접점에서 중근이므로 $g(x)=k(x-a)^2(\cdots)$ 로 인수분해된다.
3교점을 구해 적분 구간을 정한다.
4 $\int g\,dx$ 를 계산한다.

공략

· **차 함수가 $(x-a)^2$ 로 인수분해되지 않으면 접선을 잘못 구한 것이다.** 무조건 검산 지점으로 쓸 것.
· 이차함수와 접선이면 $\int_\alpha^\beta k(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac k6(\beta-\alpha)^3$ 공식으로 한 줄에 끝난다. 접선 문제는 $\alpha=\beta$ 인 특수형이라 구간을 잘 잡아야 한다.
· 넓이를 $a_n$ 으로 두고 수열로 잇는 결합형(가천대)이 있다. 넓이를 $t$ 나 $n$ 의 식으로 남겨 둘 것.
· **D058(접선의 방정식)과 짝으로 나온다.** 접선을 못 구하면 넓이는 손도 못 댄다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	2	2	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	2%/92문항	3%/62문항	0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 3문항

2026 서경대 7번10점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 28제 12번

7. 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+5$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle A(-4,\ f(-4))$ 에서의 접선에 수직이고, 점 $\displaystyle A$ 를 지나는 직선을 $\displaystyle y=l(x)$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=l(x)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하고자 한다. 다음에 답하시오. (10점)① $\displaystyle l(x)=$ __________ (답만 쓰시오. 3점).② 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=l(x)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 7점).

교재와 닮은 점 · 수능특강 12번은 이차함수 위의 한 점에서의 접선 l을 구해 곡선과 l로 둘러싸인 넓이를 정적분으로 구한다. 논술도 f(x)=½x²+2x+5 위의 점 A(-4,f(-4))에서 접선을 구하는 과정이 같다.

다른 점 · 논술은 접선이 아니라 접선에 수직인 직선(법선)으로 바꾸고 곡선과 그 직선으로 둘러싸인 넓이를 묻는다.

2026 한국기술교육대 10번16점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 28제 12번

자연수 $\displaystyle n$ 과 $\displaystyle 0<t<n$ 인 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=x^2-2nx+n^2$ 의 그래프 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(t,\ f(t)\right)$ 에서의 접선을 $\displaystyle l_n$ 이라 하자. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 접선 $\displaystyle l_n$ 및 $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle a_n$ , 접선 $\displaystyle l_n$ 과 $\displaystyle x$ 축 및 $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle b_n$ 이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.(1) $\displaystyle a_3+b_3$ 의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 $\displaystyle t$ 의 개수를 구하시오. (8점)(2) $\displaystyle a_n+b_n$ 의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 $\displaystyle t$ 의 개수를 $\displaystyle c_n$ 이라 할 때, $\displaystyle c_5+c_6+c_7$ 의 값을 구하시오. (8점) (16점)

교재와 닮은 점 · 교재 12번의 곡선·접선·y축으로 둘러싸인 넓이 계산이 논술의 a_n 계산과 같은 절차다. 접선 방정식을 세워 차 함수를 0부터 t까지 적분하는 부분이 그대로 쓰인다.

다른 점 · 논술은 자연수 n과 실수 t를 매개변수로 두고 a_n+b_n이 자연수가 되는 t의 개수를 세는 수열 문제로 확장했다.

2025 상명대 7번10점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 7. 정적분의 활용

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \int\{f(x)-3\}dx+\int x f'(x)\,dx=x^4-x^3$ 을 만족시킨다.(1) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 극대일 때, $\displaystyle f(a)$ 의 값을 구하시오.(2) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (1,\,f(1))$ 에서의 접선 $\displaystyle \ell$ 의 방정식을 구하시오.(3) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle \ell$ 의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (10점)① $\displaystyle f(a)=$ __________ (3.8점)② 접선 $\displaystyle \ell$ 의 방정식: __________ (2.2점)③ 도형의 넓이: __________ (4점)

교재와 닮은 점 · 교재는 점 (1,f(1))에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 넓이를 정적분으로 구하는데, 논술 (2)(3)도 같은 점에서 접선 y=x+2를 구해 곡선과 둘러싸인 넓이를 계산한다.

다른 점 · 논술은 앞에 {xf(x)}'=f(x)+xf'(x)를 알아채 부정적분으로 f(x)=x^3-x^2+3을 복원하는 단계가 있다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 12번

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) = \dfrac {{1}} {{3}} x^{{2}} -x+1}$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 위의 점 $\displaystyle{\left ( 3,~ f \left ( 3 \right ) \right ) }$ 에서의 접선을 $\displaystyle{l }$ 이라 하자. 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 와 $\displaystyle{y }$ 축 및 직선 $\displaystyle{l }$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는?

2025학년도 완성수학Ⅱ 06. 다항함수의 적분법 18번

직선 $\displaystyle y=x+2$ 가 곡선 $\displaystyle y=x^{{2}} -3x+k$ 에 접할 때, 곡선 $\displaystyle y=x^{{2}} -3x+k$ 와 두 적선 $\displaystyle y=x+2$ , $\displaystyle x=k$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, $\displaystyle k$ 는 상수이다.)

2026학년도 특강수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 26번

최고차항의 계수가 $\displaystyle{1 }$ 인 사차함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 위의 점 $\displaystyle{\left ( 1,~ 0 \right ) }$ 에서의 접선을 $\displaystyle{l }$ 이라 하자. 직선 $\displaystyle{l }$ 의 기울기는 양수이고 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 와 직선 $\displaystyle{l }$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는?

곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 는 원점에서 $\displaystyle{x }$ 축과 접한다.
곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 가 직선 $\displaystyle{l }$ 과 만나는 서로 다른 점의 개수는 $\displaystyle{2 }$ 이다.

2025학년도 특강수학Ⅱ 7. 정적분의 활용 0번

함수 $\displaystyle{f(x)=x^{2}+1}$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$ 위의 점 $\displaystyle{(1, f(1))}$ 에서의 접선을 $\displaystyle{l}$ 이라 하자. 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$ 와 직선 $\displaystyle{l}$ 및 $\displaystyle{y}$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

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