D126절댓값 기호를 포함한 정적분의 계산

교재 6문항 · 논술 기출 2문항

핵심

$\displaystyle\int|f|$ 를 한 번에 계산하는 공식은 없다. $f$ 의 부호가 바뀌는 점에서 구간을 끊고, 음인 구간에서만 부호를 뒤집어 더한다.

해법

1 $f(x)=0$ 의 근을 구해 부호를 조사한다.
2적분 구간을 그 근에서 끊는다.
3음인 구간은 $-\displaystyle\int f$ 로 바꿔 더한다.
4미지수가 있으면 근이 적분 구간 안인지 밖인지로 경우를 나눈다.

공략

· $\displaystyle\int_0^3|f|=\int_0^3f+2$ 는 「음인 부분의 넓이의 두 배가 $2$ 」라는 뜻이다. 두 적분의 차가 음인 부분의 두 배라는 관계를 외워 두면 식이 단숨에 준다.
· $0<a<3$ 같은 단서는 근이 구간 안에 있음을 알려 경우를 줄여 주려고 붙는다. 단서를 먼저 읽고 경우를 정한다.
· 이차함수의 넓이는 $\dfrac{|a|}6(\beta-\alpha)^3$ 공식으로 통째로 처리된다. 부호만 맞추면 계산이 절반으로 준다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	3	3	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	3%/92문항	5%/62문항	0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 가천대 13번10점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 34제 28번

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle \int_{-2}^{2}|f(x)|\,dx$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)(가) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{xf'(x)}=\frac{1}{3}$ (나) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0}\left\{\left(x^2+\frac{1}{x}\right)f(x)\right\}$ 이 존재한다.(다) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to -1}\left\{\left(x^2+\frac{1}{x}\right)\frac{1}{f(x)}\right\}=3$

교재와 닮은 점 · 주어진 조건으로 다항함수를 먼저 확정한 뒤 부호가 바뀌는 구간을 나눠 절댓값 정적분을 계산하는 두 단계 구조가 같다.

다른 점 · 수특은 극대·극소 조건과 ∫|f|=23을 주고 f(1)을 묻지만, 논술은 세 개의 극한 조건으로 f를 정한 뒤 ∫_{-2}^{2}|f|를 직접 계산한다.

2026 한국공학대 5번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 34제 8번

함수 $\displaystyle f(x)=3x^2-6x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx+\int_0^2 |f(x)|\,dx=0$ 을 만족시키는 모든 실수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 이차함수가 음인 구간에서 절댓값 적분을 부호를 바꾼 정적분으로 고쳐 하나의 정적분으로 합치고, 그 결과로 얻은 삼차방정식을 인수분해해 a를 구한다.

다른 점 · 논술의 f(x)=3x^2-6x는 교재 f(x)=x^2-2x의 3배이고, 교재는 실근의 합을 묻는 객관식인 반면 논술은 모든 a의 값을 서술한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 8번

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) =x^{{2}} -2x}$ 에 대하여 $\displaystyle{\displaystyle \int_{{1}}^{{2}} \left | f \left ( x \right ) \right | dx= \displaystyle \int_{{a}}^{{1}} f \left ( x \right ) dx}$ 를 만족시키는 서로 다른 모든 실수 $\displaystyle{a }$ 의 값의 합은?

2025학년도 완성수학Ⅱ 06. 다항함수의 적분법 6번

$\displaystyle 0\lt a\lt 3$ 인 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$ 를 $\displaystyle f \left ( x \right ) =x \left ( x-a \right )$ 라 하자.

$\displaystyle \displaystyle \int_{{0}}^{{3}} {\left | f \left ( x \right ) \right | dx} = \displaystyle \int_{{0}}^{{3}} {f \left ( x \right ) dx} +2$

일 때, $\displaystyle af \left ( -a \right )$ 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 16번

$\displaystyle{\displaystyle \int_{{0}}^{{2}} \left | x^{{2}} -1 \right | dx}$ 의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 28번

이차함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle{f \left ( 1 \right ) }$ 의 값을 구하시오.

함수 $\displaystyle{\displaystyle \int_{{0}}^{{x}} f \left ( t \right ) dt}$ 는 $\displaystyle{x= -2}$ 에서 극소이고, $\displaystyle{x=2}$ 에서 극대이다.
$\displaystyle{\displaystyle \int_{{0}}^{{3}} \left | f \left ( x \right ) \right | dx=23}$

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