⚙️ 2026학년도 한국공학대 논술 기출 (오후)

$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ 인 $\displaystyle \theta$ 에 대하여 $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{4}{5}$ 일 때, $\displaystyle \cos\theta+\tan\theta$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

닫힌구간 $\displaystyle [0,\ \pi]$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=4\sin 2x$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=2$ 가 만나는 두 점의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle \alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)$ 라 할 때, $\displaystyle \beta-\alpha$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $\displaystyle y=3^x$ 의 그래프를 $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle p$ 만큼, $\displaystyle y$ 축의 방향으로 $\displaystyle q$ 만큼 평행이동한 그래프가 두 점 $\displaystyle (-2,\ 0)$ 과 $\displaystyle (0,\ 8)$ 을 지날 때, 두 상수 $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

곡선 $\displaystyle y=\log_2(x-1)+2$ 가 직선 $\displaystyle y=2$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{A}$ ,곡선 $\displaystyle y=\log_2(x-1)+2$ 가 직선 $\displaystyle y=5$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ ,점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{C}$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACB}$ 의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{-1}^{x} f(t)\,dt = x^3+ax^2+\int_{-1}^{1} f(t)\,dt$ 를 만족시킨다. 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\int_{-1}^{x} f(t)\,dt$ 라 할 때, $\displaystyle g(3)$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

양수 $\displaystyle a$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,\ a^2)$ 에서의 접선과 수직이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 를 지나는 직선이 $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 의 넓이를 $\displaystyle S(a)$ 라 할 때, $\displaystyle \lim\limits_{a\to 0+}\frac{S(a)}{a}$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.) (10점)

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t\ (t\ge 0)$ 에서 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 의 속도를 각각 $\displaystyle v_1(t)$ , $\displaystyle v_2(t)$ 라 하면 $\displaystyle v_1(t)=3t^2+kt+k,\qquad v_2(t)=2t-4$ 이다. 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 는 출발한 후 시각 $\displaystyle t=a$ 일 때 동시에 운동 방향을 바꾼다. 시각 $\displaystyle t=a$ 일 때 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 사이의 거리를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle k,\ a$ 는 상수이다.) (10점)

함수 $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{4}+ax-a^2+3$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 임의의 두 실수 $\displaystyle x_1,\ x_2$ 에 대하여 $\displaystyle x_1<x_2$ 일 때 $\displaystyle f(x_1)<f(x_2)$ 이다.

(나) $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle f(x)-x=0$ 의 실근은 $\displaystyle 2$ 뿐이다.함수 $\displaystyle f(x)$ 의 역함수를 $\displaystyle g(x)$ 라 할 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=g(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=-x-16$ 으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (15점)

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 이고 상수항이 $\displaystyle k$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=3$ 에서 극솟값을 갖는다.

(나) 집합 $\displaystyle \left\{\,x \ \middle|\ \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-12 \,\right\}$ 의 원소의 개수는 $\displaystyle 1$ 이다.곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 가 $\displaystyle x$ 축과 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 $\displaystyle k$ 의 최댓값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)