⚙️ 2025학년도 한국공학대 논술 기출 (오전)

함수 $\displaystyle f(x)=a\sin bx+c$ 는 주기가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 이고 최댓값은 $\displaystyle 7$ , 최솟값은 $\displaystyle 3$ 이다. 다음은 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 세 상수 $\displaystyle a,\ b,\ c$ 의 값을 구하는 과정이다.

(1) ~ (5)에 알맞은 식 또는 수를 구하시오. (단, $\displaystyle a>0$ , $\displaystyle b>0$ ) (10점)함수 $\displaystyle f(x)$ 는 주기가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 이므로 $\displaystyle b=\boxed{\ (1)\ }$ 이다.함수 $\displaystyle f(x)=a\sin bx+c$ 의 최댓값과 최솟값을 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle c$ 에 대한 식으로 나타내면최댓값은 $\displaystyle \boxed{\ (2)\ }$ 이고 최솟값은 $\displaystyle \boxed{\ (3)\ }$ 이므로 $\displaystyle a=\boxed{\ (4)\ }$ , $\displaystyle c=\boxed{\ (5)\ }$ 이다.

$\displaystyle 1$ 이 아닌 서로 다른 두 양수 $\displaystyle a,\ b$ 에 대하여 $\displaystyle 2\log_a b:\log_a b+1=1:\log_a b$ 일 때, $\displaystyle \log_a b+\log_b a$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

모든 항이 양수인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{5a_2}{a_3+a_4}=16$ 일 때, $\displaystyle \frac{a_3}{a_5}$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

두 함수 $\displaystyle y=\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}-1$ , $\displaystyle y=2^x+k$ 의 그래프가 제1사분면에서 만나도록 하는 모든 실수 $\displaystyle k$ 의 값의 범위가 $\displaystyle \alpha<k<\beta$ 일 때, $\displaystyle \log_{\sqrt{2}}(\beta-\alpha)$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

두 다항함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\frac{f(x)-g(x)}{x-1}=0$

(나) $\displaystyle f(x)g(x)=x^3-4x^2+x+6$ $\displaystyle f'(1)$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle f(1)>0$ ) (10점)

서로 다른 두 양수 $\displaystyle a,\ b$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle f(x)=\begin{cases} -x-a & (x<1) \\ 2a & (x=1) \\ bx-3 & (x>1)\end{cases}$ 이다. 함수 $\displaystyle \{f(x)\}^2$ 이 모든 실수 $\displaystyle x$ 에서 연속일 때, $\displaystyle f(a-b)+f(a+b)$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

실수 $\displaystyle k\ (k>1)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=-x^2+kx$ 와 직선 $\displaystyle y=x$ 가 만나는 두 점 중 원점이 아닌 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라 하고, 직선 $\displaystyle y=x$ 가 직선 $\displaystyle x=k$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=-x^2+kx$ 와 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle A$ 라 하고, 곡선 $\displaystyle y=-x^2+kx$ 와 직선 $\displaystyle x=k$ 및 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle B$ 라 하자. $\displaystyle B-A=\frac{2}{3}$ 일 때, $\displaystyle k$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.) (10점)

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t\ (t\ge 0)$ 에서의 속도 $\displaystyle v(t)$ 가 두 상수 $\displaystyle a,\ b\ (a>4b>0)$ 에 대하여 $\displaystyle v(t)=6t^2-(a+8b)t+(a+2b)b$ 일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 시각 $\displaystyle t=t_1$ 과 $\displaystyle t=t_2$ 에서 운동 방향을 바꾸고 $\displaystyle t_2-t_1=\frac{1}{3}$ 이다.

(나) 시각 $\displaystyle t=0$ 에서 $\displaystyle t=b$ 까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 움직인 거리는 $\displaystyle 3$ 이다.시각 $\displaystyle t=2$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치를 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)\,dt=f(x)-\frac{2}{3}x^3+4x^2-2x-2$ 를 만족시킨다. 양수 $\displaystyle k$ 에 대하여 직선 $\displaystyle y=k$ 가 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 서로 다른 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\ \mathrm{B}$ 에서 만날 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOB}$ 의 넓이를 $\displaystyle g(k)$ 라 하자. $\displaystyle g(k)$ 가 최대일 때, $\displaystyle k$ 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.) (15점)