D151함수와 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이

교재 5문항 · 논술 기출 2문항

핵심

$y=f(x)$ 와 $y=f^{-1}(x)$ 의 그래프는 직선 $y=x$ 에 대칭이다. 두 곡선으로 둘러싸인 넓이는 $y=x$ 한쪽 조각의 두 배이고, 역함수의 정적분은 직사각형에서 원래 함수의 적분을 빼서 구한다.

해법

1두 그래프의 교점을 찾는다. $f$ 가 증가함수면 $f(x)=x$ 의 해가 곧 교점이다.
2 $y=x$ 를 기준으로 한쪽 넓이 $\displaystyle\int|x-f(x)|\,dx$ 를 구한다.
3대칭이므로 두 배 한다.
4역함수의 적분이 직접 필요하면 $\displaystyle\int_a^bf^{-1}(y)\,dy=bf^{-1}(b)-af^{-1}(a)-\int f$ 로 바꾼다.

공략

· $f(x)=f^{-1}(x)$ 의 해가 $f(x)=x$ 의 해와 같은 것은 $f$ 가 증가함수일 때뿐이다. 감소함수에서는 성립하지 않으니 단조성을 먼저 확인한다.
· 역함수를 직접 구하려 들지 말 것. 대칭과 직사각형 분할만으로 넓이는 전부 처리된다.
· 논술은 「 $y=x$ 에 대칭임을 이용하여」라는 근거를 요구한다. 대칭이라는 문장을 명시하고 넘어가야 그 배점이 붙는다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	2	3	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	2%/92문항	5%/62문항	0%/8문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 가천대 9번10점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 28제 6번

$\displaystyle a>0$ 인 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=ax^3$ 의 역함수를 $\displaystyle g(x)$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (5,\ f(5))$ 에서의 접선의 방정식이 점 $\displaystyle (4,\ 2)$ 를 지날 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=g(x)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수특 6번은 f(x)=x^3/4의 역함수 g와 두 곡선으로 둘러싸인 넓이로, 논술과 대상·풀이(직선 y=x 대칭을 이용해 넓이의 4배)가 그대로 일치한다.

다른 점 · 논술은 계수 a가 바로 주어지지 않고 점 (5, f(5))의 접선이 (4, 2)를 지난다는 조건으로 a=1/25를 먼저 구하는 단계가 얹혀 있다.

2025 서경대 8번10점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 7. 정적분의 활용

함수 $\displaystyle y=f(x)=\frac{1}{4}x^3$ 의 역함수를 $\displaystyle y=g(x)$ 라고 하자. 이때, 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강 문항은 삼차함수 f의 역함수 g에 대해 두 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다. 논술도 f(x)=x³/4 와 그 역함수로 같은 것을 묻고, y=x 대칭성으로 ∫(x-f(x))dx 를 이용하는 풀이가 같다.

다른 점 · f가 x³-x²+x 에서 x³/4 로 바뀌어 원점 대칭까지 쓸 수 있는 정도.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 6번

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) = \dfrac {{1}} {{4}} x^{{3}}}$ 의 역함수를 $\displaystyle{g \left ( x \right ) }$ 라 하자. 두 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ , $\displaystyle{y=g \left ( x \right ) }$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는?

2025학년도 특강수학Ⅱ 7. 정적분의 활용 0번

함수 $\displaystyle{f(x)=x^{3}+3 x-3}$ 의 역함수를 $\displaystyle{g(x)}$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle{y=g(x)}$ 와 $\displaystyle{x}$ 축 및 직선 $\displaystyle{x=1}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이가 $\displaystyle{S}$ 일 때, $\displaystyle{12 S}$ 의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 15번

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

방정식 $\displaystyle{f \left ( x \right ) =x}$ 를 만족시키는 실수 $\displaystyle{x }$ 는 $\displaystyle{-7}$ 과 $\displaystyle{9 }$ 뿐이다.
$\displaystyle{\displaystyle \int_{{-7}}^{{9}} \left \{ x-f \left ( x \right ) \right \} dx= -8}$

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 의 역함수를 $\displaystyle{g \left ( x \right ) }$ 라 할 때, 두 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ , $\displaystyle{y=g \left ( x \right ) }$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 24번

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 $\displaystyle{x }$ 에 대하여 $\displaystyle{f \left ( x \right ) = -f \left ( -x \right ) }$ 이고, $\displaystyle{f ' \left ( x \right ) \le 0}$ 이다.
곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 가 직선 $\displaystyle{y= -x}$ 와 만나는 서로 다른 점의 개수는 $\displaystyle{3 }$ 이다.

$\displaystyle{f \left ( 3 \right ) = -3}$ , $\displaystyle{\displaystyle \int_{{-3}}^{{0}} f \left ( x \right ) dx=2}$ 일 때, 두 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ , $\displaystyle{y=f^{{-1}} \left ( x \right ) }$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

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