D094삼차방정식의 실근의 개수

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle f(x)$ 의 최고차항의 계수는 1이다.(나) $\displaystyle f'(1)=f'(3)=0$ (다) 함수 $\displaystyle |f(x)|$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분 가능하지 않은 실수 $\displaystyle a$ 의 개수는 3이다.이때 $\displaystyle f(0)$ 이 정수가 되도록 하는 모든 $\displaystyle f(1)$ 의 값의 합을 구하시오. (12점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 최고차항 계수가 1인 삼차함수에서 '그래프가 어떤 수평선과 서로 다른 세 점에서 만난다 ⇔ 극댓값>수평선>극솟값'을 이용해 상수항의 범위를 잡는다.

다른 점 · 논술은 |f(x)|의 미분불가능한 점이 3개라는 조건으로 같은 판정을 포장했고, f'의 두 근이 직접 주어져 f를 먼저 복원해야 한다.

함수 $\displaystyle f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+x+7$ 과 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 집합 $\displaystyle A=\left\{x \mid (f(x)f'(t)-f'(t))(x-t)+f(x)(f(t)-1)-f(t)+1=0\right\}$ 일 때, 집합 $\displaystyle A$ 의 원소의 개수가 1이 되도록 하는 모든 $\displaystyle t$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강은 A={x | f(x)f'(t)(x-t)+f(x)f(t)=0}의 원소가 1개가 되는 t를 묻는다. 논술은 같은 식을 f(x)-1로 평행이동한 꼴이어서 (f(x)-1){f'(t)(x-t)+f(t)-1}=0 으로 인수분해되는 절차가 완전히 같다.

다른 점 · 삼차함수가 x³-6x²+9x+16에서 -x³/3+x+7로 바뀌고, 합이 아니라 t의 값 전부를 쓰게 한다.

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}-3x & (x<2)\\ 3(x-a) & (x\ge 2)\end{cases}$ 가 실수 전체 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하고, 함수 $\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-2)f(t)\,dt$ 라 할 때 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 구하시오.곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=0$ 과의 교점의 개수는 $\displaystyle b$ 이고 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 와 $\displaystyle y=3$ 과의 교점의 개수는 $\displaystyle c$ 일 때, $\displaystyle b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 는 자연수이다.) (10점)① $\displaystyle a=$ __________ (1.5점)② $\displaystyle g(x)=$ __________ (4점)③ $\displaystyle b+c=$ __________ (4.5점)

교재와 닮은 점 · 삼차함수의 그래프와 다른 곡선(직선)의 교점 개수를 극값 비교로 따지는 개념이 같다. 논술도 g(x)를 삼차식으로 구한 뒤 극댓값·극솟값과 y=0, y=3의 위치 관계로 교점 수를 센다.

다른 점 · 논술은 앞에 조각함수의 연속으로 a를 정하고 g(x)=∫_0^x (t-2)f(t)dt를 적분해 식을 만드는 단계가 있다.

두 함수 $\displaystyle f(x)=x^3+4x^2-6x+8$ , $\displaystyle g(x)=x^2+ax+b$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.(1) $\displaystyle a=18$ 일 때, 두 곡선 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 의 교점의 개수가 2가 되도록 하는 $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오.(2) $\displaystyle a=3$ 일 때, 열린구간 $\displaystyle (-2,\,1)$ 에서 두 곡선 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 적어도 한 점에서 만나기 위한 $\displaystyle b$ 의 범위를 구하시오.(3) 두 곡선 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 오직 한 점에서만 만나기 위한 $\displaystyle a$ 의 범위를 구하시오. (10점)① $\displaystyle b=$ __________ (2.6점)② $\displaystyle b$ 의 범위를 구하는 과정을 서술하시오. (5점)③ $\displaystyle a$ 의 범위: __________ (2.4점)

교재와 닮은 점 · 교재는 f(x)=x^3-8x와 g(x)=-3x^2+x+a의 교점(실근) 개수가 3이 되는 정수 a를 h=f-g의 극값으로 따지고, 논술도 h(x)=f(x)-g(x)의 극값 부호로 교점 개수 조건을 다룬다.

다른 점 · 논술은 교점이 2개인 b, 구간 (-2,1)에서 사잇값 정리로 b의 범위, 교점이 1개인 a의 범위까지 세 방향으로 묻는다.

곡선 $\displaystyle y=-x^3+3x^2-3x+1$ 과 직선 $\displaystyle y=-3x+k$ 가 서로 다른 세 점에서 만날 때, 정수 $\displaystyle k$ 의 모든 값의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강 문항은 곡선 y=x³+3x²+5x-1 과 직선 y=5x+k 의 교점이 3개가 되는 정수 k의 개수를 묻는다. 논술도 일차항 계수가 같은 직선이어서 상수 k를 분리한 뒤 삼차함수의 극댓값·극솟값 사이 범위를 잡는 절차가 동일하다.

다른 점 · 곡선의 부호가 반대이고 정수 k의 개수 대신 합을 묻는다.

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt=\frac{1}{6}x^4+ax^3+bx^2$ 이다.(나) $\displaystyle |f'(-1)|+|f'(2)|=0$ 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\frac{1}{4}\left|3f(x)-24x-4\right|$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=k$ 가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 모든 자연수 $\displaystyle k$ 의 개수를 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 삼차함수의 극댓값·극솟값을 구한 뒤 '그래프와 수평선의 교점 개수' 조건을 극값 사이의 부등식으로 바꿔 정수 범위를 센다.

다른 점 · 논술은 절댓값이 씌워진 g(x)=|h(x)|/4와 y=k의 교점이 4개인 경우를 따져야 하고, 앞단에 적분방정식을 미분해 f를 확정하는 단계가 더 있다.