D058접점의 좌표가 주어진 접선의 방정식3년 연속

그림과 같이 최고차항의 계수가 $\displaystyle{1}$인 삼차함수 $\displaystyle{f(x)}$에 대하여 $\displaystyle{f(0)=2}$이고 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$가 직선 $\displaystyle{y=-x+6}$에 접한다. 실수 $\displaystyle{t}$에 대하여 좌표평면 위의 세 점 $\displaystyle{A(-1, 0)}$, $\displaystyle{B(0, -1)}$, $\displaystyle{P(t, f(t))}$가 있다. 세 선분 $\displaystyle{AB}$, $\displaystyle{AP}$, $\displaystyle{BP}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle{g(t)}$라 할 때, 함수 $\displaystyle{g(x)}$가 다음 조건을 만족시킨다.

• (가) 곡선 $\displaystyle{y=g(x)}$가 $\displaystyle{x}$축과 만나는 점의 개수는 $\displaystyle{1}$이다.

• (나) 양수 $\displaystyle{p}$에 대하여 곡선 $\displaystyle{y=g(x)}$는 직선 $\displaystyle{y= \frac32}$과 점 $\displaystyle{(p, g(p))}$에서 접한다.

이때 $\displaystyle{g(2)}$의 값은? (단, 점 $\displaystyle{P}$가 선분 $\displaystyle{AB}$ 위의 점일 때 $\displaystyle{g(t)=0}$이다.)

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) =x^{{3}} -8x+9}$에 대하여 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$ 위의 점 $\displaystyle{\left ( 2,~ 1 \right ) }$에서의 접선이 점 $\displaystyle{\left ( a,~ 13 \right ) }$을 지날 때, 상수 $\displaystyle{a }$의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 $\displaystyle{1 }$인 삼차함수 $\displaystyle{f(x)}$가 다음 조건을 만족시킨다.

• $\displaystyle{f(0)\gt 0}$

• 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$가 $\displaystyle{x }$축과 두 점 $\displaystyle{(-2,~0)}$, $\displaystyle{(1,~0)}$에서만 만난다.

$\displaystyle{-2\lt a\lt - \dfrac {{1}} {{2}}}$인 실수 $\displaystyle{a }$에 대하여 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$ 위의 점 $\displaystyle{{A} (a,~f(a))}$에서의 접선이 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$와 만나는 점 중 $\displaystyle{{A}}$가 아닌 점을 $\displaystyle{{B}}$라 하자. 두 점 $\displaystyle{{A}}$, $\displaystyle{{B}}$에서 $\displaystyle{x }$축에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle{{C}}$, $\displaystyle{{D}}$라 할 때, $\displaystyle{\overline {{AC}} - \overline {{BD}}}$는 $\displaystyle{a=a_{{1}}}$일 때 최댓값을 갖는다. 상수 $\displaystyle{a_{{1}}}$의 값은?

곡선 $\displaystyle{y=x^{4}-4 x^{2}+x+1}$ 위의 점 $\displaystyle{(1,-1)}$에서의 접선의 방정식이 $\displaystyle{y=a x+b}$일 때, $\displaystyle{a-b}$의 값을 구하시오.$\displaystyle{\\}$ (단, $\displaystyle{a, b}$는 상수이다.)