D101모든 실수에서 항상 성립할 조건

교재 7문항 · 논술 기출 2문항

핵심

모든 $x$ 에 대하여 $f(x)\ge a$ 가 성립할 조건은 $a\le(f\text{의 최솟값})$ 이다. 항상 성립할 조건을 묻는 부등식 문제는 예외 없이 최대·최소 문제로 바뀐다.

해법

1부등식을 $(\text{함수})\ge0$ 또는 $(\text{함수})\ge a$ 꼴로 한쪽에 몰아 정리한다.
2미분해 증감표를 그리고 최솟값(또는 최댓값)을 구한다.
3「모든 실수에서」면 전역 최솟값, 「 $x\ge k$ 에서」면 그 구간의 최솟값과 끝점 값을 함께 본다.
4정의역이 자연수면 극소점 양옆의 정수를 직접 대입해 비교한다.

공략

· 「모든 자연수 $x$ 에 대하여」는 연속함수의 최솟값이 아니다. 극소가 되는 $x$ 의 좌우 정수를 둘 다 넣어 작은 쪽을 골라야 한다.
· $(x-c)f(x)\ge0$ 이 모든 실수에서 성립하면 $x=c$ 앞뒤로 부호가 뒤집히므로 $f(c)=0$ 이고 나머지 인수는 중근이다. 곧 $f(x)=(x-c)(x-p)^2$ 꼴로 개형이 확정된다.
· 구간의 끝점과 극값을 모두 비교한 표를 답안에 남긴다. 최솟값을 어디서 얻었는지가 논술의 채점 기준이다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	6	1	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	5%/123문항	1%/92문항	0%/97문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 한국기술교육대 7번12점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 5. 도함수의 활용(2)

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle f(1)=0$ (나) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle (x-3)f(x) \ge 0$ 이 성립한다.실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle f(x)-(x-1)f'(k)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 2$ 가 되도록 하는 모든 실수 $\displaystyle k$ 의 값의 합을 구하시오. (12점)

교재와 닮은 점 · 2025 교재 문항은 최고차항 1인 삼차함수에 (x-4)f(x)≥0, f(0)=0을 주고 f(x)-xf'(k)=0의 실근이 2개인 모든 k의 합을 묻는다. 논술은 (x-3)f(x)≥0, f(1)=0, f(x)-(x-1)f'(k)=0으로 수를 1씩 옮겼을 뿐 조건·발문이 그대로여서 같은 학년도 교재보다 훨씬 가깝다.

2025 한국외국어대 4번14점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 5. 도함수의 활용(2)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a>0$ )(가) $\displaystyle f(x)$ 는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이다.(나) $\displaystyle f(a)=0$ (다) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle (x-2a)f(x)\ge 0$ (라) $\displaystyle f(x)$ 의 극솟값은 $\displaystyle -500$ 이다.

교재와 닮은 점 · 둘 다 최고차항 계수가 1인 삼차함수에 '모든 실수 x에 대하여 (x-c)f(x)>=0'과 f의 한 근이 주어져, 사차함수 그래프의 개형에서 f(x)=(x-p)^2(x-q) 꼴을 확정한다.

다른 점 · 교재는 c=4, f(0)=0으로 수치가 고정되고 이후 f(x)-xf'(k)=0의 실근을 묻는 반면, 논술은 c=2a로 미지수를 남겨 극솟값 -500으로 a를 정한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 7번

모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle 3x^{{4}} -8x^{{3}} +6 \ge a$ 가 성립하도록 하는 실수 $\displaystyle a$ 의 최댓값은?

2025학년도 완성수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 28번

모든 자연수 $\displaystyle x$ 에 대하여 부등식

$\displaystyle \dfrac {{1}} {{3}} x^{{3}} + \dfrac {{1}} {{4}} x^{{2}} -3x+a \ge 0$

이 성립하도록 하는 실수 $\displaystyle a$ 의 최솟값이 $\displaystyle \dfrac {{q}} {{p}}$ 일 때, $\displaystyle p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 는 서로소인 자연수이다.)

2025학년도 완성수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 29번

함수 $\displaystyle f(x)=x^{{4}} -3x^{{3}} +x^{{2}}$ 에 대하여 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프를 $\displaystyle x$ 축에 대하여 대칭이동한 후, $\displaystyle y$ 축의 방향으로 $\displaystyle k$ 만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 $\displaystyle y=g(x)$ 라 하자. 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 부등식

$\displaystyle f(x) \ge g(x)$

가 성립할 때, 실수 $\displaystyle k$ 의 최댓값은?

2025학년도 특강수학Ⅱ 5. 도함수의 활용(2) 0번

모든 실수 $\displaystyle{x}$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle{\frac{1}{2} x^{4}-\frac{4}{3} x^{3}-x^{2}+4 x+a>0}$ 이 성립하도록 하는 정수 $\displaystyle{a}$ 의 최솟값을 구하시오.

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