D060함수의 극한과 접선의 방정식

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x^3}=\dfrac{1}{3}$ (나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=4$ (다) 두 양수 $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ $\displaystyle (x_1<x_2)$ 에 대하여 $\displaystyle f(x_1)-f(x_2)+x_1^2-x_2^2<0$ 이다.방정식 $\displaystyle f(x)=0$ 의 세 근의 합의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강 문항도 lim(x→∞)f(x)/x³=1/3 등 극한 조건으로 삼차함수를 결정한다. 논술의 조건 (가),(나)도 같은 방식으로 f(x)=x³/3+bx²+4x를 얻는다.

다른 점 · 논술은 이후 증가 조건(다)에서 판별식으로 b의 범위를 잡아 세 근의 합의 최댓값을 구하므로 구조가 다르다.

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-2x^3}{2x^2+1}=-1$ (나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{(x-1)^k}=m$ 인 자연수 $\displaystyle k$ 와 상수 $\displaystyle m$ 이 존재한다. (단, $\displaystyle k\ge 2$ ) $\displaystyle f(m)$ 의 값을 구하시오. (12점)

교재와 닮은 점 · 교재는 lim f(x)/x^3=1/3과 lim f(x)/(x-2)^2=2로 다항함수를 확정하고, 논술은 lim (f(x)-2x^3)/(2x^2+1)=-1과 lim f(x)/(x-1)^k=m으로 f를 확정한다. 무한대 극한으로 최고차항을, (x-a)^k 극한으로 중근 인수를 잡는 절차가 같다.

다른 점 · 논술은 k가 미지의 자연수여서 k=2, k=3을 나눠 모순을 배제하고 m까지 구해 f(m)을 묻는다.