D049곱의 미분법을 이용한 미정계수 결정

교재 5문항 · 논술 기출 2문항

핵심

$(fg)'=f'g+fg'$ . 미정계수 문제는 결국 $f(a)$ , $g(a)$ , $f'(a)$ , $g'(a)$ 네 수만 알면 끝나고, 그 네 수는 $\dfrac00$ 꼴 극한에서 하나씩 나온다.

해법

1극한마다 분모를 $0$ 으로 만드는 $x$ 를 찾고, 극한이 존재하므로 분자도 $0$ 이라는 식을 쓴다. 여기서 함숫값이 나온다.
2남은 극한을 미분계수의 정의로 읽어 미분계수를 얻는다.
3 $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$ 에 네 수를 대입한다.
4함수 자체가 필요하면 차수를 정하고 계수를 비교해 확정한다.

공략

· $\lim_{x\to2}\dfrac{f(x)-3}{x^2-4}$ 가 존재하면 $f(2)=3$ 이다. 분모가 $(x-2)(x+2)$ 라 극한값에는 $\dfrac{f'(2)}4$ 가 나온다는 점까지 챙긴다.
· $g(x)=(x^2+a)f(x)$ 꼴에 $x=1$ 을 대입하면 $f(1)$ 과 $f'(1)$ 만의 식이 된다. 「 $f(1)\ne0$ 」이라는 단서는 그 값으로 나누라는 신호다.
· 최고차항 계수가 $1$ 인 이차함수는 미지수가 둘뿐이다. 조건의 개수와 미지수의 개수를 먼저 세어 보면 무엇이 더 필요한지 바로 보인다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	3	—	2
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	2%/123문항	0%/92문항	2%/97문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 서경대 5번10점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수

상수 $\displaystyle a,\ b$ 에 대하여 최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-3}{x^2-4}=a,\qquad \lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(x-1)}{x-3}=b$ 를 만족시킬 때, 다음에 답하시오(3개 문항 모두 답만 쓰시오). (10점)① $\displaystyle f(x)=$ __________ (4점)② $\displaystyle a=$ __________ (3점)③ $\displaystyle b=$ __________ (3점)

교재와 닮은 점 · 2025 수능특강 문항은 '최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)가 lim(x→3){f(x)-5}/(x-3)=lim(h→0){f(1-h)-f(1)}/h 를 만족시킬 때'로, 0/0 극한 두 개로 이차함수를 확정하는 틀이 논술 문두와 거의 같다. 논술은 lim(x→2){f(x)-3}/(x²-4)=a 에서 f(2)=3, lim(x→3){f(x)-f(x-1)}/(x-3)=b 에서 f(3)=f(2)를 얻어 f를 결정한다.

2026 서경대 6번10점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수

6. 두 다항 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-g(x)}{x-1}=2,\quad \lim_{x\to 1}\frac{f(x)+g(x)-4}{x-1}=6$ 을 만족시킨다. $\displaystyle h(x)=f(x)g(x)$ 라 할 때, 다음에 답하시오(5개 문항 모두 답만 쓰시오). (10점)① $\displaystyle f(1)=$ __________ (2점)② $\displaystyle g(1)=$ __________ (1점)③ $\displaystyle f'(1)=$ __________ (2점)④ $\displaystyle g'(1)=$ __________ (1점)⑤ $\displaystyle h'(1)=$ __________ (4점)

교재와 닮은 점 · 2025 수능특강 문항은 '두 다항함수 f,g가 lim(x→0){f(x)+g(x)}/x=3, lim(x→0){f(x)+3}/(xg(x))=2 를 만족시킬 때 h(x)=f(x)g(x)의 h'(0)'을 묻는다. 논술도 두 다항함수의 극한 두 개로 f(1),g(1),f'(1),g'(1)을 정한 뒤 h=fg의 h'(1)을 곱의 미분법으로 구하는 같은 문항 틀이다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅱ 03. 미분계수와 도함수 24번

최고차항의 계수가 $\displaystyle{1 }$ 인 이차함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 에 대하여 함수 $\displaystyle{g \left ( x \right ) }$ 를

$\displaystyle{g \left ( x \right ) = \left ( x^{{2}} +1 \right ) f \left ( x \right ) +2x-f \left ( 0 \right ) }$

이라 하자. $\displaystyle{g \left ( 1 \right ) =0}$ , $\displaystyle{g ' \left ( 0 \right ) =1}$ 일 때, $\displaystyle{f \left ( 4 \right ) }$ 의 값은?

2025학년도 완성수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 7번

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 와 양수 $\displaystyle a$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 를

$\displaystyle g(x)=(x^{{2}} +a)f(x)$

라 하자. $\displaystyle f ' (1)=g(1)$ , $\displaystyle g ' (1)=11f(1)$ 일 때, $\displaystyle \dfrac {{f ' (1)}} {{f(1)}}$ 의 값은?

(단, $\displaystyle f(1)\ne 0$ )

2027학년도 특강수학Ⅱ 03. 미분계수와 도함수 25번

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g \left ( x \right ) = \begin{cases} x^{{2}} +3x+a & & \left ( -1 \lt x \lt 1 \right ) \\ f \left ( x \right ) & & \left ( x \le -1~또는~x \ge 1 \right ) \end{cases}$ 이 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 함수 $\displaystyle h \left ( x \right ) =f \left ( x \right ) g \left ( x \right )$ 에 대하여 $\displaystyle h ' \left ( -1 \right ) +h ' \left ( 1 \right ) =12$ 일 때, $\displaystyle g \left ( 0 \right )$ 의 값은? (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.)

2025학년도 특강수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수 0번

최고차항의 계수가 1 인 이차함수 $\displaystyle{f(x)}$ 가 $\displaystyle{\\ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{f(x)-5}{x-3}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{h}\\}$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle{f(-2)}$ 의 값을 구하시오.

같은 단원의 다른 개념

D094 삼차방정식의 실근의 개수기출 6공략 D045 미분가능할 조건에서 미정계수 결정기출 4공략 D058 접점의 좌표가 주어진 접선의 방정식기출 3공략 D077 함수의 극대 극소를 이용한 미정계수의 결정기출 2공략 D076 다항함수의 극대와 극소기출 2공략 D047 미분법 공식을 이용한 미정계수 결정기출 2공략 D101 모든 실수에서 항상 성립할 조건기출 2공략 D060 함수의 극한과 접선의 방정식기출 2공략