D077함수의 극대 극소를 이용한 미정계수의 결정3년 연속

교재 17문항 · 논술 기출 2문항

핵심

미분가능한 $f$ 가 $x=\alpha$ 에서 극값을 가지면 $f'(\alpha)=0$ 이다. 역은 성립하지 않는다 — $f'(\alpha)=0$ 이어도 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니다. 미정계수는 이 필요조건으로 세우고, 답은 부호 확인으로 확정한다.

해법

1 $f'(x)$ 를 구하고 극값 조건을 $f'(\alpha)=0$ 과 $f(\alpha)=(\text{극값})$ 두 식으로 옮긴다.
2미지수 개수만큼 식을 모아 연립한다.
3구한 값을 되돌려 넣어 $f'$ 의 부호가 실제로 바뀌는지 증감표로 확인한다.
4극대인지 극소인지까지 밝혀 답을 고른다.

공략

· 「 $0$ 을 극값으로 갖는다」는 $f(\alpha)=0$ 과 $f'(\alpha)=0$ 을 동시에 만족한다는 뜻 — $f$ 와 $f'$ 의 공통근을 찾는 문제가 된다.
· 사차함수가 우함수( $f(-x)=f(x)$ )면 홀수차항 계수가 모두 $0$ 이라 미지수가 절반으로 준다.
· 부호 확인 없이 연립만 풀면 중근인 경우를 걸러내지 못한다. 「 $x=\alpha$ 앞뒤에서 $f'$ 가 음에서 양으로 바뀌므로 극소」 한 줄이 채점 포인트다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	2	8	7
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	2%/123문항	9%/92문항	7%/97문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 상명대 7번10점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 31제 26번

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}$ 의 값이 존재하고, 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 도함수가 $\displaystyle g'(x)=f(|x+5|)-f(|x|)$ 이다. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ 에서 극솟값을 가질 때,(1) 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 를 구하시오.(2) $\displaystyle x_0\neq\frac{1}{2}$ 이고 $\displaystyle g'(x_0)=0$ 을 만족시키는 두 실수 $\displaystyle x_0=\alpha$ 와 $\displaystyle x_0=\beta$ 를 구하시오. (단, $\displaystyle \alpha<\beta$ )(3) 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 극댓값을 갖도록 하는 $\displaystyle x$ 의 값을 정확히 구하시오.[답란] (1) $\displaystyle f(x)=$ ______ (2.7점) (2) 두 실수 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 구하는 과정을 서술하시오. (5.0점) (3) $\displaystyle x=$ ______ (2.3점) 〔전체 10점〕

교재와 닮은 점 · 도함수가 0이 되는 점들에서 부호 변화를 따져 극대·극소를 판정하는 개념이 같다. 논술은 g'(x)=f(|x+5|)-f(|x|)의 부호를 구간별로 조사해 극소·극대 위치를 찾는다.

다른 점 · 논술은 절댓값이 든 도함수라 f의 대칭축 x=3을 먼저 찾고 구간을 나눠야 한다.

2025 한국기술교육대 9번16점동일개념2025학년도 수능완성 수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 16번

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} t(t-2)(t-4)\,dt$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.(1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 극댓값을 구하시오. (6점)(2) 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=f(x+2)-f(x)$ 라 할 때, 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 극솟값을 구하시오. (10점) (16점)

교재와 닮은 점 · 다항함수를 미분해 극대·극소를 판정하는 개념이 같다. 논술은 f(x)=∫_0^x t(t-2)(t-4)dt를 미분해 f'=x(x-2)(x-4)로 극댓값을, g(x)=f(x+2)-f(x)를 정리해 극솟값을 구한다.

다른 점 · 논술은 정적분으로 정의된 함수와 그 평행이동의 차를 다루므로 적분 계산이 앞선다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 16번

함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) =x^{{4}} - \dfrac {{4}} {{3}} x^{{3}} -4x^{{2}} +a$ 가 $\displaystyle 0$ 을 극값으로 갖도록 하는 모든 실수 $\displaystyle a$ 의 값의 합은?

2026학년도 특강수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 10번

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) =2x^{{3}} +ax^{{2}} +bx+12}$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 의 극솟값을 구하시오. (단, $\displaystyle{a }$ , $\displaystyle{b }$ 는 상수이다.)

$\displaystyle{f ' \left ( -2 \right ) =0}$
$\displaystyle{-2 \lt x_{{1}} \lt x_{{2}} \lt 1}$ 인 모든 실수 $\displaystyle{x_{{1}}}$ , $\displaystyle{x_{{2}}}$ 에 대하여 $\displaystyle{f \left ( x_{{1}} \right ) \gt f \left ( x_{{2}} \right ) }$ 이다.
$\displaystyle{1 \lt x_{{3}} \lt x_{{4}}}$ 인 모든 실수 $\displaystyle{x_{{3}}}$ , $\displaystyle{x_{{4}}}$ 에 대하여 $\displaystyle{f \left ( x_{{3}} \right ) \lt f \left ( x_{{4}} \right ) }$ 이다.

2025학년도 완성수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 16번

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 사차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(-x)=f(x )$ 를 만족시키고, 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=1$ 에서 극솟값 $\displaystyle 3$ 을 가질 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 극댓값은?

2027학년도 특강수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 17번

함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) =x^{{3}} +x^{{2}} -x+a$ 는 $\displaystyle x= \alpha$ 에서 극대이고, $\displaystyle x= \beta$ 에서 극소이다. 두 점

$\displaystyle P \left ( \alpha ,~f \left ( \alpha \right ) \right )$ , $\displaystyle Q \left ( \beta ,~f \left ( \beta \right ) \right )$

에 대하여 선분 $\displaystyle {{PQ}}$ 를 $\displaystyle 3 : 1$ 로 내분하는 점이 $\displaystyle x$ 축 위에 있도록 하는 상수 $\displaystyle a$ 의 값은?

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