🌱 2025학년도 가천대 자연 논술 기출 (2세트)

1이 아닌 두 양수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ $\displaystyle (a\neq b)$ 가 $\displaystyle \log_a \frac{1}{b}=\left(\log_{\frac{1}{b}} a\right)\times\left(\log_a \frac{b^3}{a^2}\right)$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \log_b a+\log_{\frac{1}{a}} b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $\displaystyle f(x)=x^2+ax+b$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle f(a)+f(b)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이다.) (10점)

(가) $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\dfrac{1}{3}$

(나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\left\{\dfrac{x^2+x+1}{x}\displaystyle\int_1^{x+1} f(t)\,dt\right\}=3$

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}\times\overline{\mathrm{CA}}=42$

(나) $\displaystyle \cos C=\dfrac{27}{28}$

(다) $\displaystyle \sin A+\sin B=\dfrac{13\sqrt{55}}{56}$ 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 외접원의 넓이를 $\displaystyle S$ 라 할 때, $\displaystyle \sqrt{\dfrac{495S}{\pi}}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 좌표평면에서 $\displaystyle \mathrm{A}_n(-n,\ 0)$ , $\displaystyle \mathrm{B}_n(n,\ 0)$ , $\displaystyle \mathrm{C}_n(0,\ n)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_n\mathrm{B}_n\mathrm{C}_n$ 의 넓이를 $\displaystyle S_n$ , 둘레의 길이를 $\displaystyle l_n$ 이라 하자. $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{10} S_n$ 과 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{10} l_n$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x^3}=\dfrac{1}{3}$

(나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=4$

(다) 두 양수 $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ $\displaystyle (x_1<x_2)$ 에 대하여 $\displaystyle f(x_1)-f(x_2)+x_1^2-x_2^2<0$ 이다.방정식 $\displaystyle f(x)=0$ 의 세 근의 합의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $\displaystyle f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+x+7$ 과 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 집합 $\displaystyle A=\left\{x \mid (f(x)f'(t)-f'(t))(x-t)+f(x)(f(t)-1)-f(t)+1=0\right\}$ 일 때, 집합 $\displaystyle A$ 의 원소의 개수가 1이 되도록 하는 모든 $\displaystyle t$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle f(0)=1$ 이고, $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분 $\displaystyle F(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle F(x)=\dfrac{1}{2}\{f(x)\}^2$ 이다.

(나) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \displaystyle\int_0^x \{t+g(t)\}\,dt=x+g(x)+\dfrac{x^3}{3}+a$ 이다. $\displaystyle \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^2}{1+x}\,dx+\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{f(x)}{1-x}\,dx+\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{g(x)}{x^2-1}\,dx$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

그림과 같이 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원 위에 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=\sqrt[4]{5},\quad \overline{\mathrm{CB}}=\sqrt[4]{20},\quad \overline{\mathrm{DB}}=\sqrt[4]{1.25}$ 인 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 를 잡는다. 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{P}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 할 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{QB}}$ , $\displaystyle \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{PQ}}}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

모든 항이 양수인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n a_{n+1} a_{n+2}=3^n$ 을 만족시킨다. 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때, $\displaystyle \dfrac{1}{S_{12}}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)