🏫 2025학년도 상명대 자연B 논술 기출

그림과 같이 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 반원 위에 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=\sqrt[6]{3}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CB}}=\sqrt[6]{24}$ 인 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 를 잡는다. 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$ 라 할 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}=a$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CH}}=b$ 라 하자.이차방정식 $\displaystyle x^2-ax-\sqrt[6]{648}\,b=0$ 을 만족하는 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라 할 때, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 그리고 $\displaystyle \alpha^3+\beta^3$ 의 값을 구하시오. (10점)

등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에서 $\displaystyle a_4=7$ , $\displaystyle a_{11}=21$ 일 때,

(1) 일반항 $\displaystyle a_n$ 을 구하시오.

(2) $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\frac{1}{a_k a_{k+2}}$ 의 값을 구하시오.

(3) 부등식 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{4}{a_k a_{k+2}}<\frac{13}{12}$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle m$ 을 모두 구하시오. (10점)

① $\displaystyle a_n=$ __________ (2.5점)

② $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\frac{1}{a_k a_{k+2}}=$ __________ (2.8점)

③ $\displaystyle m=$ __________ (4.7점)

모든 항이 양수인 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때, 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle 6S_n=a_n^{\,2}+3a_n-10$ 을 만족시킨다. $\displaystyle a_{10}$ , $\displaystyle a_1$ 그리고 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_k$ 의 값을 구하시오. (10점)

① $\displaystyle a_{10}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (6점)

② $\displaystyle a_1=$ __________ (1.5점)

③ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_k=$ __________ (2.5점)

1이 아닌 양의 실수 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 에 대하여 이차방정식 $\displaystyle 2x^2-mx+n=0$ 의 두 근을 $\displaystyle \log_2\alpha$ , $\displaystyle \log_2\beta$ 라고 하자.

(1) $\displaystyle \log_\alpha\beta+\log_\beta\alpha=\frac{1}{4}$ 을 만족시키는 가장 작은 자연수 $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ 을 구하시오.

(2) 위에서 구한 $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ 과 양수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ , $\displaystyle k$ 가 아래의 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오. (10점)

(가) $\displaystyle (2m)^a=(2n)^{2b}=k^c$

(나) $\displaystyle ab=bc-ac$

① $\displaystyle m=$ __________ (2.8점)

② $\displaystyle n=$ __________ (2.8점)

③ $\displaystyle k=$ __________ (4.4점)

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}-3x & (x<2)\\ 3(x-a) & (x\ge 2)\end{cases}$ 가 실수 전체 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하고, 함수 $\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-2)f(t)\,dt$ 라 할 때 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 구하시오.곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=0$ 과의 교점의 개수는 $\displaystyle b$ 이고 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 와 $\displaystyle y=3$ 과의 교점의 개수는 $\displaystyle c$ 일 때, $\displaystyle b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 는 자연수이다.) (10점)

① $\displaystyle a=$ __________ (1.5점)

② $\displaystyle g(x)=$ __________ (4점)

③ $\displaystyle b+c=$ __________ (4.5점)

평행사변형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 에 대각선 $\displaystyle \mathrm{AC}$ 를 그려 두 개의 삼각형으로 나누었다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 각 변의 길이를 아래의 그림과 같이 각각 $\displaystyle m$ 배 확대하여 새로운 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$ 을 만들었다.(단, $\displaystyle m>1$ 이고, $\displaystyle \angle\mathrm{CAB}=\alpha$ , $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=\beta$ , $\displaystyle \angle\mathrm{BCA}=\gamma$ )

(1) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이를 $\displaystyle S$ 라 할 때, 세 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PAR}$ , $\displaystyle \mathrm{QBP}$ , $\displaystyle \mathrm{RCQ}$ 의 넓이를 각각 $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle S$ 에 대한 식으로 나타내시오.

(2) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$ 의 넓이가 평행사변형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 의 넓이와 같게 하는 $\displaystyle m$ 의 값을 구하시오. (10점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \int\{f(x)-3\}dx+\int x f'(x)\,dx=x^4-x^3$ 을 만족시킨다.

(1) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 극대일 때, $\displaystyle f(a)$ 의 값을 구하시오.

(2) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (1,\,f(1))$ 에서의 접선 $\displaystyle \ell$ 의 방정식을 구하시오.

(3) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle \ell$ 의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (10점)

① $\displaystyle f(a)=$ __________ (3.8점)

② 접선 $\displaystyle \ell$ 의 방정식: __________ (2.2점)

③ 도형의 넓이: __________ (4점)

두 함수 $\displaystyle f(x)=x^3+4x^2-6x+8$ , $\displaystyle g(x)=x^2+ax+b$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle a=18$ 일 때, 두 곡선 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 의 교점의 개수가 2가 되도록 하는 $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오.

(2) $\displaystyle a=3$ 일 때, 열린구간 $\displaystyle (-2,\,1)$ 에서 두 곡선 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 적어도 한 점에서 만나기 위한 $\displaystyle b$ 의 범위를 구하시오.

(3) 두 곡선 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 오직 한 점에서만 만나기 위한 $\displaystyle a$ 의 범위를 구하시오. (10점)

① $\displaystyle b=$ __________ (2.6점)

② $\displaystyle b$ 의 범위를 구하는 과정을 서술하시오. (5점)

③ $\displaystyle a$ 의 범위: __________ (2.4점)