🌏 2026학년도 외대 자연계 논술 기출

함수 $\displaystyle y=\log_2(x+a)+b$ 의 그래프와 그 역함수의 그래프가 두 점에서 만난다. 이 두 점의 $\displaystyle x$ 좌표가 각각 $\displaystyle -1$ , $\displaystyle 1$ 일 때, 함수 $\displaystyle y=\log_2(x+a)+b$ 의 그래프가 직선 $\displaystyle y=3$ 과 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표를 구하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수) (10점)

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle f(x)$ 의 최고차항의 계수는 1이다.

(나) $\displaystyle f'(1)=f'(3)=0$

(다) 함수 $\displaystyle |f(x)|$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분 가능하지 않은 실수 $\displaystyle a$ 의 개수는 3이다.이때 $\displaystyle f(0)$ 이 정수가 되도록 하는 모든 $\displaystyle f(1)$ 의 값의 합을 구하시오. (12점)

자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 세 점 $\displaystyle \mathrm{A}_n(n,\ n+1)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(0,\ 1)$ , $\displaystyle \mathrm{O}(0,\ 0)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_n\mathrm{B}$ 의 외접원의 넓이를 $\displaystyle a_n$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} a_n$ 의 값을 구하시오. (13점)

$\displaystyle n$ 이 2 이상의 정수일 때, $\displaystyle (\log_a n-1)$ 의 $\displaystyle n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수를 $\displaystyle f(n)$ 이라 하자. 이때 $\displaystyle \sum_{n=2}^{9} n f(n)=56$ 을 만족시키는 실수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a>1$ ) (14점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 극한값 $\displaystyle \lim\limits_{x\to -1}\frac{f(x)}{x+1}$ 가 존재하고, 그 값은 양수이다.

(나) 극한값 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}$ 가 존재하고, 그 값은 양수이다.

(다) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\frac{|f(x)|}{x^4}=1$ 방정식 $\displaystyle f(x)=0$ 의 모든 실근이 정수이고 모든 실근의 합이 4일 때, 모든 실근의 곱을 구하시오. (16점)

등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에 대하여 $\displaystyle T_n=|a_1+a_2+\cdots+a_n|$ 이라 할 때, 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 과 $\displaystyle \{T_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항은 30이고 공차는 정수이다.

(나) $\displaystyle T_{10}=T_{11}$ 이때 $\displaystyle T_n>T_{n+1}$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값과 최댓값의 합을 구하시오. (17점)

실수 $\displaystyle t$ 에 대하여, $\displaystyle -1\le x\le 1$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)=x^2-2|x-t|+1$ 의 최댓값을 $\displaystyle g(t)$ 라 하자. 이때 $\displaystyle \int_{-3}^{2} g(t)\,dt$ 의 값을 구하시오. (18점)