← 수학Ⅱ 다항함수의 미분법

D047미분법 공식을 이용한 미정계수 결정

교재 7문항 · 논술 기출 2문항

핵심

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h. 분모가 00 으로 가는데 극한이 존재하면 분자도 00 으로 가야 한다 — 이 한 줄이 미정계수를 정하는 첫 식이 된다.

해법

  1. 1주어진 극한을 미분계수의 정의 꼴로 맞춘다. 분모와 증분을 같게 만드는 것이 핵심이다.
  2. 2분모가 00 이면 분자도 00 이라는 조건을 먼저 식으로 쓴다.
  3. 3그 식과 극한값 조건을 연립해 미정계수를 정한다.
  4. 4곱이 섞이면 (fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg' 를 적용한다.

공략

  • · lim⁡h→0f(a+2h)−f(a)h=2f′(a)\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}h=2f'(a) 다. 증분의 배수만큼 곱해지는 것을 놓치는 실수가 가장 잦다.
  • · ∑kf(k+h)\sum_k f(k+h) 꼴은 항마다 따로 미분계수로 바꾼 뒤 더한다. 시그마 안에서 한꺼번에 극한을 취하려 하지 말 것.
  • · 「분자가 00 이어야 한다」는 문장이 논술에서 독립 배점인 경우가 많다. 결과만 쓰고 이 근거를 생략하면 점수를 잃는다.
학년도202520262027
교재 문항 수3—4
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)2%/123문항0%/92문항4%/97문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 가천대 15번10점동일개념2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수

함수 f(x)=x2+ax+b\displaystyle f(x)=x^2+ax+b 가 다음 조건을 만족시킬 때, f(a+b)\displaystyle f(a+b) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, a\displaystyle a , b\displaystyle b 는 상수이다.) (10점)(가) f(2)=f′(2)\displaystyle f(2)=f'(2) (나) ∑k=115lim⁡h→0f(k+1+h)−f(k+1−2h)5h=90\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{15}\lim_{h\to0}\frac{f(k+1+h)-f(k+1-2h)}{5h}=90

교재와 닮은 점 · 2025 수특 문항은 f(x)=x^3/3+ax^2+b에 대해 g(h)=Σ_{k=1}^{6}f(k+h)를 놓고 lim_{h→0}(g(h)-26)/h=49로 계수를 정하는데, 논술도 Σ_{k=1}^{15}의 각 항을 미분계수 정의로 f'(k+1)로 바꿔 합을 계산해 이차함수 계수를 확정한다. 같은 학년도에서는 이 결합 유형을 찾지 못해 이전 연도로 교체한다.

2026 한국공학대 7번10점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수

최고차항의 계수가 1\displaystyle 1 인 삼차함수 f(x)\displaystyle f(x) 에 대하여 집합 { x | lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=4 }\displaystyle \left\{\,x\ \middle|\ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=4\,\right\} 의 원소가 −2\displaystyle -2 와 3\displaystyle 3 이다. 실수 t\displaystyle t 에 대하여 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (t, f(t))\displaystyle (t,\ f(t)) 에서의 접선의 기울기를 g(t)\displaystyle g(t) 라 할 때, g(4)\displaystyle g(4) 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 최고차항 계수 1인 삼차함수, 접선의 기울기 함수 g(t), 집합 {x|lim(f(x+h)-f(x))/h=상수}의 원소가 두 개라는 조건까지 문장 구조가 그대로 같고 상수와 묻는 g의 값만 다르다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅱ 03. 미분계수와 도함수 1017번

양수 a\displaystyle a와 실수 t\displaystyle t에 대하여 점 P(t,−t2+2t+a)\displaystyle P(t, -t^2 + 2t + a)와 직선 y=2x\displaystyle y = 2x 사이의 거리를 f(t)\displaystyle f(t)라 하자. 함수 g(x)=(f(x))2\displaystyle g(x) = (f(x))^2에 대하여 곡선 y=g(x)\displaystyle y = g(x) 위의 점 (−1,20)\displaystyle (-1, 20)에서의 접선의 기울기는?

2025학년도 특강수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수 0번

함수 f(x)\displaystyle{f(x)} 는 최고차항의 계수가 1\displaystyle{1}인 삼차함수이고, 실수 t\displaystyle{t} 에 대하여 곡선 y=f(x)\displaystyle{y=f(x)} 위의 점 (t,f(t))\displaystyle{(t, f(t))} 에서의 접선의 기울기를 함수 g(t)\displaystyle{g(t)} 라 하자. {x∣ lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=2}={−3,4}\displaystyle{\\ \left\{x \left\lvert\, \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2\right.\right\}=\{-3,4\}\\} 일 때, g(−2)\displaystyle{g(-2)} 의 값을 구하시오.

2027학년도 특강수학Ⅱ 03. 미분계수와 도함수 1029번

최고차항의 계수가 1\displaystyle{1}인 삼차함수 f(x)\displaystyle{f(x)}가 모든 정수 k\displaystyle{k}에 대하여 k+2≤f(k+2)−f(k)2≤2k2+3k+2\displaystyle{k+2 \le \frac{f(k+2)-f(k)}{2} \le 2k^2+3k+2}를 만족시킬 때, f′(3)\displaystyle{f'(3)}의 값을 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수 0번

최고차항의 계수가 1\displaystyle{1}인 삼차함수 f(x)\displaystyle{f(x)}가 다음 <조건>을 만족시킬 때, f(3)\displaystyle{f(3)}의 값을 구하시오. (단, a\displaystyle{a}는 0\displaystyle{0}이 아닌 실수이다.)

  • {x∣f(x)=3}={−a,a,2a}\displaystyle{\{x \mid f(x)=3\}=\{-a, a, 2 a\}\\}

  • f(0)>0,f′(1)=−2\displaystyle{f(0)>0, f^{\prime}(1)=-2}

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