D076다항함수의 극대와 극소3년 연속

최고차항의 계수가 1인 사차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle f(x)$ 의 도함수 $\displaystyle y=f'(x)$ 의 그래프는 $\displaystyle x$ 축과 $\displaystyle x=-1$ 에서 만나고, $\displaystyle x=\alpha\ (\alpha>0)$ 에서 접한다.(나) $\displaystyle f(\alpha)=0$ 이고, $\displaystyle f(0)=-16$ 이다.구간 $\displaystyle -1\le x\le t\ (t\ge -1)$ 에서 $\displaystyle f'(x)$ 의 최댓값을 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (10점)(1) 위의 조건을 만족시키는 양수 $\displaystyle \alpha$ 의 값을 구하시오.(2) $\displaystyle g\left(\dfrac{3}{2}\right)$ 의 값을 구하시오.(3) $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{4}g(t)\,dt$ 의 값을 구하시오.(1) $\displaystyle \alpha=$ __________ (4.3점)(2) $\displaystyle g\left(\dfrac{3}{2}\right)=$ __________ (2.8점)(3) $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{4}g(t)\,dt=$ __________ (2.9점)

교재와 닮은 점 · 도함수의 부호와 f'(x)=0의 근으로 극대·극소를 판정하는 같은 정리를 쓴다. 논술은 f'(x)=4(x+1)(x-α)^2에서 x=α가 중근이라 극값이 아님을 알고 구간 최댓값 g(t)를 만든다.

다른 점 · 논술은 f'를 부정적분해 f를 복원하고, 구간 [-1,t]의 최댓값 함수 g(t)를 다시 적분하는 단계가 더 있다.

사차함수 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3+x^2+8x+9$ 이고, 삼차함수 $\displaystyle g(x)$ 는 최고차항의 계수가 1이고 $\displaystyle g(0)=-\dfrac{1}{3}$ 이다. $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 같은 극댓값을 가질 때, 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 극솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 후보 문항은 사차함수의 극대 조건으로 미정계수를 정한 뒤 극솟값을 구하는 유형이고, 논술도 f'(x)를 인수분해해 극댓값을 구하고 이를 이용해 삼차함수 g를 결정한 뒤 극솟값을 구한다.

다른 점 · 논술은 사차함수의 극댓값을 삼차함수의 극댓값으로 옮겨 미정계수 두 개를 연립으로 정하는 구조라 다르다.