D045미분가능할 조건에서 미정계수 결정3년 연속

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}\left|(x+a)(x^2-3x)\right| & (x\ge 0)\\[3pt] \left|(x+b)(x^2+3x)\right| & (x<0)\end{cases}$ 라 하자. 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=0$ 에서만 미분 가능하지 않을 때, 다음 물음에 답하시오. (10점)(1) $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 는 상수)(2) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=n$ 과의 교점의 개수를 $\displaystyle g(n)$ 이라 할 때, $\displaystyle g(0)+g(2)+g(4)+g(6)$ 의 값을 구하시오.(1) $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (7.0점)(2) $\displaystyle g(0)+g(2)+g(4)+g(6)=$ __________ (3.0점)

교재와 닮은 점 · 절댓값이 포함된 함수가 어떤 점에서 미분가능할 조건으로 미정계수를 정하는 개념이 같다. 논술은 |(x+a)(x^2-3x)| 꼴이 x=±3에서 미분가능해야 함을 좌우 미분계수로 확인해 a=-3, b=3을 얻는다.

다른 점 · 논술은 (2)에서 y=f(x)와 y=n의 교점 개수 g(n)의 합까지 그래프 개형으로 구하게 한다.

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^4-5}-f(x)}{6x^2+1}=\frac{1}{3}$ 일 때, 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\begin{cases} f(1-x)-f(x) & (x<1)\\ f(x) & (x\geq 1)\end{cases}$ 이라 하자. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=1$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle f(3)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강은 이차함수 f에 대해 g(x)=f(x)(x<1), f(x+1)-f(x)(x≥1) 가 x=1에서 미분가능할 때 f(2)를 묻는다. 논술도 g(x)=f(1-x)-f(x)(x<1), f(x)(x≥1) 의 x=1 미분가능 조건을 쓴다.

다른 점 · 논술은 √(x⁴-5) 가 들어간 극한으로 f가 이차함수이고 최고차항이 -1임을 먼저 밝혀야 한다.

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases} ax+b & (x<2)\\[2pt] x^3 & (x\ge 2)\end{cases}$ 가 $\displaystyle x=2$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle a-b$ 의 값을 구하시오. (8점)

교재와 닮은 점 · 교재는 ax+2 / bx^2+x+3이 x=1에서 미분가능할 때 a+b, 논술은 ax+b / x^3이 x=2에서 미분가능할 때 a-b를 묻는다. 연속 조건과 좌·우 미분계수 일치를 연립하는 절차가 동일하다.

다른 점 · 조각식의 차수와 접합점, 묻는 식(a+b→a-b)만 다르다.

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\begin{cases} f(x)-f(x-1) & (x<0) \\ f(x) & (x\ge 0)\end{cases}$ 이라 하자. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle f(3)$ 의 값을 구하시오. (12점)

교재와 닮은 점 · 교재는 최고차항 계수 1인 이차함수 f로 g(x)=f(x)(x<1), f(x+1)-f(x)(x≥1)가 x=1에서 미분가능할 때 f(2), 논술은 g(x)=f(x)-f(x-1)(x<0), f(x)(x≥0)가 x=0에서 미분가능할 때 f(3)이다. 차분이 일차식임을 이용해 연속·미분계수를 맞추는 풀이가 같다.

다른 점 · 조각의 좌우가 뒤바뀌고 접합점이 x=1에서 x=0으로, 묻는 값이 f(2)에서 f(3)으로 바뀌었다.