← 수학Ⅱ 함수의 극한과 연속

D023함수의 연속과 미정계수의 결정3년 연속

교재 52문항 · 논술 기출 5문항

핵심

x=ax=a 에서 연속   ⟺  \iff lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a). 세 값을 나란히 놓고 등식을 세우는 것이 전부다.

해법

  1. 1경계점을 모두 찾는다. 구간이 나뉘는 곳, 분모가 0이 되는 곳, 정의가 따로 주어진 점.
  2. 2각 경계에서 좌극한·우극한·함숫값을 계산해 등식을 세운다.
  3. 300\frac00 꼴이 생기면 분자가 0이 되어야 하므로 그 조건에서 미지수 하나를 먼저 뺀다(D015 와 같은 논리).
  4. 4등식을 연립해 미정계수를 구한다.

공략

  • · **세 대학이 모두 낸 유형이다** — 교재 52문항(2027에만 27문항)으로 공급도 가장 많다. 무조건 확보해야 한다.
  • · {f(x)}2\{f(x)\}^2 이나 f(x)g(x)f(x)g(x) 처럼 **가공된 함수의 연속**을 묻는 변형이 한국공학대에 두 번 나왔다. ff 자체는 불연속이어도 제곱하면 연속이 될 수 있다 — 좌·우 극한의 제곱이 같으면 된다.
  • · 주기 조건 f(x+4)=f(x)f(x+4)=f(x) 가 붙으면 경계점이 주기마다 반복된다(한기대 4번). 한 주기 안의 경계뿐 아니라 **주기 이음매**(x=0x=0과 x=4x=4)도 반드시 확인할 것.
  • · 분모가 이차식이면 '실수 전체에서 연속'은 판별식 <0<0 까지 요구한다. 극한 등식만 맞추고 끝내면 감점된다.
학년도202520262027
교재 문항 수131227
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)16%/79문항21%/56문항35%/78문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 5문항

2026 가천대 12번10점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 02. 함수의 연속 28제 26번

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)\displaystyle f(x) 가 f(x)={(x+5)(x−1)(x<0)x−4(x≥0)\displaystyle f(x)=\begin{cases}(x+5)(x-1) & (x<0)\\[2pt] x-4 & (x\ge 0)\end{cases} 일 때, 모든 실수 a\displaystyle a 에 대하여 극한값 lim⁡x→af(x)f(k−x)\displaystyle \lim\limits_{x\to a} f(x)f(k-x) 가 존재하도록 하는 실수 k\displaystyle k 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 불연속점을 갖는 구간별 함수끼리의 곱이 그 점에서 좌극한과 우극한이 같아지는 조건을 따지는 개념이 같다.

다른 점 · 수특은 f(x){f(x)-9} 꼴에서 a의 값을 구하고, 논술은 f(x)f(k-x)가 모든 실수에서 극한을 가질 k를 k의 부호별로 나눠 서술한다.

2025 한국공학대 6번10점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 2. 함수의 연속

서로 다른 두 양수 a, b\displaystyle a,\ b 에 대하여 함수 f(x)\displaystyle f(x) 가 f(x)={−x−a(x<1)2a(x=1)bx−3(x>1)\displaystyle f(x)=\begin{cases} -x-a & (x<1) \\ 2a & (x=1) \\ bx-3 & (x>1)\end{cases} 이다. 함수 {f(x)}2\displaystyle \{f(x)\}^2 이 모든 실수 x\displaystyle x 에서 연속일 때, f(a−b)+f(a+b)\displaystyle f(a-b)+f(a+b) 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 구간별로 정의된 f에 대해 {f(x)}^2이 실수 전체에서 연속일 조건, 즉 경계에서 좌·우 극한의 제곱이 같다는 식을 세워 미지수를 구한다.

다른 점 · 교재는 미지수가 a 하나이고 값의 합을 묻지만, 논술은 x=1에서의 함숫값 2a까지 따로 있어 a, b 두 개를 양수 조건으로 확정한다.

2025 한국공학대 6번10점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 2. 함수의 연속

두 자연수 a\displaystyle a , b\displaystyle b 에 대하여 함수 f(x)\displaystyle f(x) 가 f(x)={b2x2+bx+1(x≠0)a24(x=0)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{b^2}{x^2+bx+1} & (x\neq 0)\\[8pt] \dfrac{a^2}{4} & (x=0)\end{cases} 이다. 함수 f(x)\displaystyle f(x) 가 모든 실수 x\displaystyle x 에서 연속일 때, a\displaystyle a 와 b\displaystyle b 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 x=0에서 분모가 이차식인 유리함수와 상수를 이어 붙인 함수가 실수 전체에서 연속일 조건을 다룬다. x=0에서의 극한=함숫값 식과, 분모의 이차식이 실근을 갖지 않도록 판별식<0을 쓰는 두 단계가 같다.

다른 점 · 교재는 정수 순서쌍의 개수를 묻고, 논술은 자연수 a, b의 값을 직접 구한다.

2025 한국기술교육대 4번8점동일개념2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 2. 함수의 연속

함수 f(x)\displaystyle f(x) 가 모든 실수 x\displaystyle x 에 대하여 f(x+4)=f(x)\displaystyle f(x+4)=f(x) 이고, 0≤x<4\displaystyle 0\le x<4 일 때 f(x)={2x+4(0≤x<2)ax+bx+2(2≤x<4)\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x+4 & (0\le x<2) \\[4pt] \dfrac{ax+b}{x+2} & (2\le x<4)\end{cases} 이다. 함수 f(x)\displaystyle f(x) 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, f(15)\displaystyle f(15) 의 값을 구하시오. (단, a\displaystyle a , b\displaystyle b 는 상수이다.) (8점)

교재와 닮은 점 · 구간별로 정의된 함수가 접합점에서 연속이 되도록 미정계수를 정하는 개념이 같다. 논술은 f(x)=(ax+b)/(x+2)인 구간이 있어 x=2와 x=4(주기적으로 x=0)에서 좌우 극한을 맞춘다.

다른 점 · 논술은 f(x+4)=f(x)라는 주기 조건이 추가돼 두 식을 연립하고 f(15)=f(3)으로 옮겨야 한다.

2025 한국외국어대 5번16점동일개념2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 2. 함수의 연속

함수 f(x)={3x2+12x+8(x<0)2x2−8x+8(x≥0)\displaystyle f(x)=\begin{cases} 3x^2+12x+8 & (x<0) \\ 2x^2-8x+8 & (x\ge 0)\end{cases} 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 n\displaystyle n 의 값의 합을 구하시오.함수 g(x)={2f(x)(x<a)6n−f(x)(x≥a)\displaystyle g(x)=\begin{cases} 2f(x) & (x<a) \\ 6n-f(x) & (x\ge a)\end{cases} 이 모든 실수 x\displaystyle x 에서 연속이 되도록 하는 상수 a\displaystyle a 의 개수는 4이다.

교재와 닮은 점 · 둘 다 경계점에서 좌극한=우극한=함숫값이라는 연속 조건을 세워 미지수 관계식을 얻는다.

다른 점 · 교재는 경계가 고정된 x=-1에서 a 하나를 구하지만, 논술은 경계 a가 미지수여서 f(a)=2n을 만족하는 a의 개수를 곡선과 직선의 교점 개수로 해석해야 한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅱ 02. 함수의 연속 1번

함수

f(x)={x2+axx−2(x<2)−x+b(x≥2)\displaystyle{f \left ( x \right ) = \begin{cases} \dfrac {{x^{{2}} +ax}} {{x-2}} & & \left ( x \lt 2 \right ) \\ -x+b & & \left ( x \ge 2 \right ) \end{cases}}

가 x=2\displaystyle{x=2}에서 연속일 때, a+b\displaystyle{a+b}의 값은? (단, a\displaystyle{a }, b\displaystyle{b }는 상수이다.)

2026학년도 특강수학Ⅱ 02. 함수의 연속 1번

함수

f(x)={x+3+ax−1(x≠1)b(x=1)\displaystyle f \left ( x \right ) = {\begin{cases} \dfrac {{\sqrt {x+3} +a}} {{x-1}} && \left ( x \ne 1 \right ) \\ b&& \left ( x=1 \right ) \end{cases}}

이 x=1\displaystyle x=1에서 연속일 때, a+b\displaystyle a+b의 값은? (단, a\displaystyle a , b\displaystyle b 는 상수이다.)

2025학년도 특강수학Ⅱ 2. 함수의 연속 0번

함수 f(x)={x3+ax+b(x+1)(x−2)(x≠−1,x≠2)cx2+d(x=−1) 또는 (x=2)\displaystyle{f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{3}+a x+b}{(x+1)(x-2)} & (x \neq-1, x \neq 2) \\ c x^{2}+d &(x=-1)~또는~(x=2) \end{cases}}가 x=−1\displaystyle{x=-1}과 x=2\displaystyle{x=2}에서 모두 연속일 때, ab+cd\displaystyle{a b+c d}의 값을 구하시오. (단, a,b,c,d\displaystyle{a, b, c, d} 는 상수이다.)

2027학년도 특강수학Ⅱ 02. 함수의 연속 2번

함수

f(x)={x+a−3x+1(−a≤x<−1 또는 x>−1)b(x=−1)\displaystyle{f \left ( x \right ) = \begin{cases} \dfrac {{\sqrt {x+a} - \sqrt {3}}} {{x+1}} & \left ( -a \le x \lt -1~또는~x \gt -1 \right ) \\ b & \left ( x= -1 \right ) \end{cases}}

이 x=−1\displaystyle{x= -1}에서 연속일 때, ab\displaystyle{\dfrac {{a}} {{b}}}의 값은? (단, a\displaystyle{a }, b\displaystyle{b }는 상수이고, a>1\displaystyle{a \gt 1}이다.)

같은 단원의 다른 개념

D015 극한값을 이용한 다항함수의 결정기출 6공략D013 극한값을 이용한 미정계수의 결정기출 3공략D019 0/0꼴 함수의 극한의 활용기출 3공략D024 (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속기출 1공략D016 함수의 극한의 대소 관계기출 1공략D032 연속함수의 성질기출 1공략D008 함수의 극한의 기본성질기출 1공략D034 최대 최소의 정리기출 1공략