D015극한값을 이용한 다항함수의 결정3년 연속

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 극한값 $\displaystyle \lim\limits_{x\to -1}\frac{f(x)}{x+1}$ 가 존재하고, 그 값은 양수이다.(나) 극한값 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}$ 가 존재하고, 그 값은 양수이다.(다) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\frac{|f(x)|}{x^4}=1$ 방정식 $\displaystyle f(x)=0$ 의 모든 실근이 정수이고 모든 실근의 합이 4일 때, 모든 실근의 곱을 구하시오. (16점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 분모가 0으로 가는데 극한이 존재하므로 분자도 0, 즉 f(-1)=0, f(2)=0임을 끌어내 f를 인수분해된 꼴로 놓는다.

다른 점 · 교재는 극한값이 3으로 확정돼 삼차함수가 바로 결정되지만, 논술은 극한값이 '양수'라는 부호 조건과 최고차 조건만 주어 사차함수의 정수근을 탐색하게 한다.

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 와 두 실수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle a+b+f(3)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)(가) 함수 $\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{f(x^2+9)}$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서만 불연속이다.(나) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{f(x-2)}{f(x^2)}=b$

교재와 닮은 점 · 후보 문항은 여러 극한의 존재 조건에서 (분자→0)을 반복 적용해 다항함수를 결정하는 유형이고, 논술의 조건 (나) lim(x→-3)f(x-2)/f(x²)=b 도 같은 정리를 쓴다.

다른 점 · 논술의 핵심은 g(x)=x/f(x²+9)가 단 한 점에서만 불연속일 조건(분모의 중근)이라 구조가 다르다.

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{9x^2-1}=\dfrac{1}{3}$ (나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\frac{1}{3}}\dfrac{9x^2-1}{f(x)}=\dfrac{1}{4}$ $\displaystyle \lim\limits_{x\to\frac{1}{3}}\dfrac{\left|x-\frac{1}{3}\right|(x^2+ax+5)}{f(x)}=b$ 를 만족시키는 두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강은 lim(x→∞)f(x)/(4x²-1)=1/2, lim(x→1/2)(4x²-1)/f(x)=1/3 으로 f를 결정한다. 논술은 같은 틀을 9x²-1, 1/3, 1/4로 바꿔 f(x)=3(x-1/3)(x+k)를 얻는다.

다른 점 · 논술은 |x-1/3|이 들어간 세 번째 극한의 좌·우극한 비교를 추가로 요구한다.

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(-2)}{x-2}=1$ (나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x+2)}{f(x-2)}=3$ ① $\displaystyle f(2)\neq 0$ 일 때, 위 조건을 만족시키는 함수가 존재하는지 서술하시오.② $\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 삼차함수를 극한 조건만으로 결정하는 유형으로, (분모→0, 극한 존재 ⇒ 분자→0)을 반복 적용한다. 논술은 이로부터 f(2)=f(-2)를 얻는다.

다른 점 · 논술은 f(x+2)/f(x-2)→3 이라는 비(比) 극한으로 f(2)≠0의 존재 가능성을 논증하고 정적분까지 계산한다.

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=-12$ (나) 함수 $\displaystyle y=f'(x)$ 의 그래프는 점 $\displaystyle (2,\ 0)$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 접한다. $\displaystyle f(2)$ 의 값을 구하시오. (8점)

교재와 닮은 점 · 교재는 두 극한 조건을 만족하는 삼차함수의 f(2)를, 논술은 lim f(x)/x=-12와 y=f'(x)가 (2,0)에서 접한다는 조건으로 f(2)를 구한다. 극한값으로 다항함수를 결정하는 정리가 같다.

다른 점 · 논술은 두 번째 조건이 도함수의 중근 조건이라 f'(x)=3a(x-2)^2로 놓는 점이 다르다.

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 집합 $\displaystyle \{-2,\ -1,\ 1\}$ 의 모든 원소 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle \lim\limits_{x\to a}\dfrac{xf(x)-a}{x-a}$ 의 값이 존재한다.(나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x)}{x-1}=25$ $\displaystyle f(3)$ 의 값을 구하시오. (12점)

교재와 닮은 점 · 교재는 집합 {-1,1,2}의 원소 a마다 lim (xf(x)-2a)/(x-a)가 존재하는 삼차함수의 f(-3), 논술은 집합 {-2,-1,1}에 대해 lim (xf(x)-a)/(x-a)가 존재하는 f(3)이다. af(a)-c=0에서 f(x)-k를 세 일차식의 곱으로 놓는 풀이가 같다.

다른 점 · 집합의 원소, 분자의 상수배, 두 번째 극한 조건의 형태만 바뀌었다.