D024(x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속3년 연속

교재 11문항 · 논술 기출 1문항

핵심

$(x-a)f(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속이거나 극한이 존재한다는 조건은, $f$ 가 $x=a$ 에서 발산해도 그 발산을 $(x-a)$ 가 상쇄한다는 뜻이다. 반대로 $(x-a)f(x)\to L\ne0$ 이면 $f$ 는 $x=a$ 에서 무한대로 간다.

해법

1 $x=a$ 를 대입해 $0\times(\text{미정})$ 꼴이 되는 자리를 찾는다.
2극한이 존재한다는 조건을 「분자가 인수를 갖는다」는 식으로 옮긴다.
3약분한 뒤 다시 $x=a$ 를 대입해 극한값을 계산한다.
4연속 조건이면 그 극한값이 함숫값과 같다고 놓는다.

공략

· $\lim_{x\to1}(x^2-1)f(x)=3$ 이면 $\lim_{x\to1}(x-1)f(x)=\dfrac32$ 다. 인수를 쪼개 나머지 부분의 극한값을 대입하는 것이 전형이다.
· $(x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1)$ 처럼 공통인수를 뽑아 이미 아는 극한으로 환원한다. 새로 계산하지 말 것.
· $f$ 자체의 극한이 존재한다고 넘겨짚지 않는다. 존재하는 것은 곱의 극한뿐이라는 점이 이 유형의 핵심이다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	2	4	5
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	3%/79문항	7%/56문항	6%/78문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 한국기술교육대 6번12점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 02. 함수의 연속 28제 16번

양수 $\displaystyle a$ 와 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\begin{cases} 2f(|x|) & (|x| \le a) \\[4pt] -f(2a-|x|) & (|x|>a) \end{cases}$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 양수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (12점)(가) $\displaystyle f(a)=-\dfrac{81}{8}$ (나) 두 함수 $\displaystyle f(x-a)g(x)$ 와 $\displaystyle f(x)g(x-a)$ 가 모두 실수 전체의 집합에서 연속이다.

교재와 닮은 점 · 교재 16번은 불연속인 f(x)에 (x+a)를 곱한 함수가 연속이 되는 조건을 따지는 (x-a)f(x)꼴 연속 문제이고, 논술도 x=±a에서만 불연속인 g(x)에 f(x-a), f(x)를 곱해 연속이 되는 조건을 쓴다.

다른 점 · 논술은 삼차함수·절댓값 조각정의까지 얹어 네 지점의 연속 조건을 연립하는 12점 문항이다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅱ 02. 함수의 연속 16번

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 가 모든 실수 $\displaystyle{x }$ 에 대하여

$\displaystyle{\left ( x+1 \right ) f \left ( x \right ) =x^{{3}} +3x^{{2}} +a}$

를 만족시킨다. 상수 $\displaystyle{b }$ 에 대하여 $\displaystyle{f \left ( b \right ) =2+ \lim \limits _{{x \rightarrow b}} f \left ( x \right ) }$ 일 때, $\displaystyle{b+f \left ( b \right ) }$ 의 값은? (단, $\displaystyle{a }$ 는 상수이다.)

2026학년도 특강수학Ⅱ 02. 함수의 연속 3번

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여

$\displaystyle \left ( x^{{3}} +1 \right ) f \left ( x \right ) =x^{{2}} -2x-3$

을 만족시킬 때, $\displaystyle f \left ( -1 \right )$ 의 값은?

2025학년도 특강수학Ⅱ 2. 함수의 연속 0번

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle{f(x)}$ 가

$\displaystyle{\\ \lim _{x \rightarrow 3}(4 x-2) f(x)=8\\}$

을 만족시킬 때, $\displaystyle{f(3)}$ 의 값을 구하시오.

2027학년도 특강수학Ⅱ 02. 함수의 연속 20번

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 가 모든 실수 $\displaystyle{x }$ 에 대하여

$\displaystyle{\left ( 2x-1 \right ) f \left ( x \right ) = \left ( f \left ( x \right ) \right ) ^{{2}} +2x-2}$

를 만족시킨다. $\displaystyle{f \left ( 3 \right ) -f \left ( 1 \right ) =1}$ 일 때, $\displaystyle{f \left ( 2 \right ) -f \left ( 0 \right ) }$ 의 값은?

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