D016함수의 극한의 대소 관계3년 연속

교재 7문항 · 논술 기출 1문항

핵심

$g(x)\le f(x)\le h(x)$ 이고 $\lim g=\lim h=L$ 이면 $\lim f=L$ 이다(샌드위치 정리). $f$ 를 모르는 채로 $f$ 의 극한을 정하는 유일한 방법이다.

해법

1부등식을 구하려는 극한의 꼴로 정리한다. 양변을 같은 식으로 나누거나 옮긴다.
2나누는 식의 부호를 확인한다. 음수로 나누면 부등호가 뒤집힌다.
3양 끝의 극한을 각각 계산한다.
4두 값이 같으면 그 값이 답이다.

공략

· $x\to\infty$ 에서 $x$ 로 나눌 때는 $x>0$ 이라 부등호가 그대로지만, $x\to-\infty$ 면 뒤집힌다. 이 확인을 답안에 쓰는 것이 배점이다.
· 양 끝의 극한이 서로 다르면 샌드위치는 쓸 수 없다. 그럴 때는 부등식을 다른 식으로 나눠 양 끝이 같아지게 만들어야 한다.
· $f(x)$ 가 부등식 가운데에 그대로 있지 않고 $f(x)+(x-1)^3$ 처럼 섞여 있으면, 먼저 $f(x)$ 만 남도록 양변에서 빼고 시작한다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	2	3	2
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	3%/79문항	5%/56문항	3%/78문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 한국기술교육대 3번8점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 30제 28번

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 양의 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle f\left(\frac{x-3}{5}\right) \le \frac{1}{5}x^2 \le f\left(\frac{x-1}{5}\right)$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{7x^2+4}$ 의 값을 구하시오. (8점)

교재와 닮은 점 · 교재는 f((x-2)/2)<x^2<f((x-1)/2)에서 lim f(x)/(6x^2+5), 논술은 f((x-3)/5)≤x^2/5≤f((x-1)/5)에서 lim f(x)/(7x^2+4)이다. 치환으로 f를 낀 부등식을 만든 뒤 극한의 대소관계를 쓰는 절차가 그대로다.

다른 점 · 부등식 안의 상수와 분모 계수만 바뀌었고 부등호가 등호 포함으로 바뀌었다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅱ 01. 함수의 극한 12번

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 가 모든 실수 $\displaystyle{x }$ 에 대하여

$\displaystyle{x^{{2}} +3x \le f \left ( x \right ) \le 2x^{{2}} +3x}$

를 만족시킬 때, $\displaystyle{\lim \limits _{{x \rightarrow 0}} \dfrac {{x^{{2}} +f \left ( 2x \right ) }} {{6x+f \left ( x \right ) }}}$ 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅱ 01. 함수의 극한 19번

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 가 모든 실수 $\displaystyle{x }$ 에 대하여 부등식

$\displaystyle{\left ( x+1 \right ) ^{{3}} \le f \left ( x \right ) + \left ( x-1 \right ) ^{{3}} \le \left ( x+1 \right ) ^{{3}} +1}$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle{\lim \limits _{{x \rightarrow \infty }} \dfrac {{f \left ( x \right ) }} {{x^{{2}} +1}}}$ 의 값은?

2025학년도 완성수학Ⅱ 04. 함수의 극한과 연속 9번

두 다항함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ , $\displaystyle{g \left ( x \right ) }$ 가 모든 실수 $\displaystyle{x }$ 에 대하여

$\displaystyle{-2x^{{2}} +5 \le f \left ( x \right ) +g \left ( x \right ) \le -4x+7}$

을 만족시키고, $\displaystyle{\lim \limits _{{x\to 1}} {\dfrac {{2f \left ( x \right ) +g \left ( x \right ) }} {{f \left ( x \right ) +2g \left ( x \right ) }}}}$ $\displaystyle{=8}$ 일 때, $\displaystyle{\lim \limits _{{x\to 1}} {\left \{ f \left ( x \right ) -g \left ( x \right ) \right \} }}$ 의 값을 구하시오.

2027학년도 특강수학Ⅱ 01. 함수의 극한 20번

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ 가 모든 양의 실수 $\displaystyle{x }$ 에 대하여

$\displaystyle{x \left ( x+4 \right ) \le f \left ( x \right ) +x^{{2}} \le \left ( x+2 \right ) ^{{2}}}$

을 만족시킬 때, $\displaystyle{\lim \limits _{{x \rightarrow \infty }} \dfrac {{f \left ( 2x \right ) }} {{6x+1}}}$ 의 값은?

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