🌱 2026학년도 가천대 자연 논술 기출 (4세트)

첫째항이 $\displaystyle 1$ 인 등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에 대하여 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} a_n=100$ 일 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\dfrac{2}{a_n a_{n+1}}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

상수 $\displaystyle a$ 에 대하여 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle 9\times\lim_{x\to 3}\frac{f(x)-x}{x^3-27}=\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(x+1)}{x^2-4}=a$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle f(7)$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

모든 항이 정수인 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=\begin{cases}-2a_n+7 & (a_n<0\ \text{인 경우})\\[2pt] a_n-n+5 & (a_n\ge 0\ \text{인 경우})\end{cases}$ 를 만족시킨다. $\displaystyle a_6=11$ 일 때, $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_4$ , $\displaystyle \sum_{k=1}^{10} a_k$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $\displaystyle f(x)=a\sin bx+c\ \left(0\le x\le \dfrac{2\pi}{b}\right)$ 는 $\displaystyle x=\alpha$ 에서 최댓값 $\displaystyle 10$ , $\displaystyle x=\beta$ 에서 최솟값 $\displaystyle m$ 을 갖는다. $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,\ 10)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(\beta,\ m)$ 을 지나는 직선을 $\displaystyle y=g(x)$ 라 하자. $\displaystyle \beta-\alpha=2\pi$ 이고 $\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=8$ 일 때, 직선 $\displaystyle y=g(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=\alpha$ , $\displaystyle x=\beta$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 는 양수이고 $\displaystyle a<c$ 이다.) (10점)

$\displaystyle 2$ 이상의 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 실수 $\displaystyle a$ 의 $\displaystyle n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수를 $\displaystyle f_n(a)$ 라 하자. $\displaystyle 2f_{n+1}(a^n)+(-1)^n\times f_n\!\left(f_{n+1}(a)\right)$ 의 값이 최소일 때, $\displaystyle f_n(a)-3f_{n+1}(a^n)+f_{n+1}\!\left(|a|^n-a^n\right)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}(x+5)(x-1) & (x<0)\\[2pt] x-4 & (x\ge 0)\end{cases}$ 일 때, 모든 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 극한값 $\displaystyle \lim\limits_{x\to a} f(x)f(k-x)$ 가 존재하도록 하는 실수 $\displaystyle k$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$ 라 하자. 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle F(x)=x^2 f(x)-2x^4+ax+1$ 이 성립할 때, $\displaystyle F\left(\dfrac{2}{a f'(0)}\right)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

상수 $\displaystyle a\,(a>1)$ 와 양수 $\displaystyle t\,(t>1)$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=\log_a x+3$ 과 곡선 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{a}} x+1$ 이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{A}$ 라 하고, 직선 $\displaystyle x=t$ 와 두 곡선이 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{B}$ , $\displaystyle \mathrm{C}$ 라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\dfrac{10}{3}$ 이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $\displaystyle \dfrac{16}{3}$ 일 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle t$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (단, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 의 $\displaystyle y$ 좌표는 정수이다.) (10점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle 4f(x)=-2x^3+6x+\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{1}^{1+h}\{f(t)\}^2\,dt$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle f(x)$ 의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)