← 수학Ⅱ 함수의 극한과 연속

D034최대 최소의 정리

교재 3문항 · 논술 기출 1문항

핵심

닫힌구간 [a,b][a,b] 에서 연속인 함수는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 「닫힌구간」과 「연속」 두 조건이 모두 있어야 한다는 것이 이 정리의 핵심이다.

해법

  1. 1구간이 닫혀 있는지 확인한다.
  2. 2함수가 그 구간에서 연속인지 확인한다.
  3. 3둘 다 만족하면 최대·최소의 존재를 단정할 수 있다.
  4. 4실제 값이 필요하면 극값과 끝점 값을 비교한다.

공략

  • · 열린구간 (a,b)(a,b) 에서는 최댓값이 없을 수 있다. 참·거짓 문항에서 구간의 괄호 모양을 반드시 확인할 것.
  • · 불연속이면 닫힌구간이어도 최댓값이 없을 수 있다. 두 조건은 어느 하나도 뺄 수 없다.
  • · 사잇값 정리와 짝으로 묻는 경우가 많다. 사잇값 정리는 「f(a)f(a) 와 f(b)f(b) 사이의 값을 반드시 갖는다」로, 방정식의 실근 존재를 보이는 데 쓴다.
학년도202520262027
교재 문항 수2—1
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)3%/79문항0%/56문항1%/78문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2025 한국기술교육대 8번12점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 2. 함수의 연속

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x) 는 모든 실수 x\displaystyle x 에 대하여 (f(x))3−3(f(x))2−4x2f(x)+12x2=0\displaystyle \left(f(x)\right)^3-3\left(f(x)\right)^2-4x^2f(x)+12x^2=0 을 만족시킨다. 함수 f(x)\displaystyle f(x) 의 최댓값이 3\displaystyle 3 이고 최솟값이 0\displaystyle 0 일 때, f(−1)+f(0)+f(114)\displaystyle f(-1)+f(0)+f\left(\frac{11}{4}\right) 의 값을 구하시오. (12점)

교재와 닮은 점 · 교재는 {f}^3-{f}^2-x^2f+x^2=0에서 최댓값 1·최솟값 0인 연속함수의 세 함숫값 합, 논술은 {f}^3-3{f}^2-4x^2f+12x^2=0에서 최댓값 3·최솟값 0인 f의 세 함숫값 합이다. 인수분해로 f=상수 또는 f=±kx를 얻고 연속성과 최대최소로 가지치기하는 과정이 같다.

다른 점 · 상수 3과 계수 4(=2^2)만 바뀌어 꺾이는 지점이 x=±3/2로 옮겨졌다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 3개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅱ 02. 함수의 연속 7번

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle{f \left ( x \right ) }가 모든 실수 x\displaystyle{x }에 대하여 f(x+4)=f(x)\displaystyle{f \left ( x+4 \right ) =f \left ( x \right ) }를 만족시키고 0≤x<1\displaystyle{0 \le x \lt 1}일 때 f(x)=ax\displaystyle{f \left ( x \right ) =ax}, 1≤x<4\displaystyle{1 \le x \lt 4}일 때 f(x)=x2−2ax+b\displaystyle{f \left ( x \right ) =x^{{2}} -2ax+b}이다. 닫힌구간 [0, 10]\displaystyle{\left [ 0,~10 \right ] }에서 함수 f(x)\displaystyle{f \left ( x \right ) }의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (단, a\displaystyle{a }, b\displaystyle{b }는 상수이다.)

2025학년도 특강수학Ⅱ 2. 함수의 연속 0번

함수 f(x)={1(x+1)(x−4)(x≠−1,x≠4)1(x=−1 또는 x=4)\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{(x+1)(x-4)} & (x \neq-1, x \neq 4) \\ 1 & (x=-1 ~또는~ x=4)\end{cases}}가 닫힌구간 [a−1,a+1]\displaystyle{[a-1, a+1]} 에서 최댓값과 최솟값을 모두 갖도록 하는 정수 a(−10<a<10)\displaystyle{a(-10<a<10)}의 개수를 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅱ 2. 함수의 연속 0번

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle{f(x)}가 모든 실수 x\displaystyle{x}에 대하여

{f(x)}3−{f(x)}2−x2f(x)+x2=0\displaystyle{\\ \{f(x)\}^{3}-\{f(x)\}^{2}-x^{2} f(x)+x^{2}=0\\}

을 만족시킨다. 함수 f(x)\displaystyle{f(x)} 의 최댓값이 1\displaystyle{1 }이고 최솟값이 0\displaystyle{0 }일 때, f(−43)+f(0)+f(12)\displaystyle{f\left(-\frac{4}{3}\right)+f(0)+f\left(\frac{1}{2}\right)} 의 값을 구하시오.

같은 단원의 다른 개념

D015 극한값을 이용한 다항함수의 결정기출 6공략D023 함수의 연속과 미정계수의 결정기출 5공략D013 극한값을 이용한 미정계수의 결정기출 3공략D019 0/0꼴 함수의 극한의 활용기출 3공략D024 (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속기출 1공략D016 함수의 극한의 대소 관계기출 1공략D032 연속함수의 성질기출 1공략D008 함수의 극한의 기본성질기출 1공략