← 수학Ⅱ 함수의 극한과 연속

D0190/0꼴 함수의 극한의 활용

교재 5문항 · 논술 기출 3문항

핵심

도형의 넓이를 매개변수의 식 S(t)S(t) 로 만든 뒤 t→t0t\to t_0 에서 S(t)(t−t0)k\dfrac{S(t)}{(t-t_0)^k} 를 구한다. **넓이를 식으로 만드는 앞단이 전부**이고 극한은 인수분해로 끝난다.

해법

  1. 1매개변수로 점의 좌표를 모두 표기한다.
  2. 2밑변·높이(또는 적분)로 S(t)S(t) 를 tt 의 식으로 만든다. 인수분해된 꼴로 남겨 두는 게 좋다.
  3. 3t→t0t\to t_0 에서 00\frac00 이 되므로 (t−t0)(t-t_0) 를 약분한다.
  4. 4남은 식에 t0t_0 을 대입한다.

공략

  • · **한국공학대가 오전·오후에 같은 구조로 냈다.** 교재 문항과 문장·기호가 거의 그대로인 경우도 있다(수능특강의 점 A(4,4), 직선 y=mxy=mx 설정).
  • · S(t)S(t) 를 전개하지 말고 S(a)=a(a−1)(a+1)S(a)=a(a-1)(a+1) 처럼 **인수분해된 채로** 두면 약분이 한눈에 보인다. 전개하면 분모와 맞추느라 시간이 간다.
  • · 분모가 (t−t0)2(t-t_0)^2 이면 분자에서 (t−t0)(t-t_0) 이 **두 번** 나와야 극한이 유한하다. 한 번만 나오면 발산이니 넓이 식이 틀린 것이다 — 검산 지점으로 쓸 것.
학년도202520262027
교재 문항 수41—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)5%/79문항2%/56문항0%/78문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 3문항

2026 가천대 10번10점동일개념2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 1. 함수의 극한

그림과 같이 직선 y=x\displaystyle y=x 가 곡선 y=x\displaystyle y=\sqrt{x} 와 만나는 점 중 원점 O\displaystyle \mathrm{O} 가 아닌 점을 A\displaystyle \mathrm{A} 라 하고 점 B(t, t)\displaystyle \mathrm{B}\left(t,\ \sqrt{t}\right) 에 대하여 삼각형 OAB\displaystyle \mathrm{OAB} 의 넓이를 T(t)\displaystyle T(t) 라 하자. 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2 과 x\displaystyle x 축 및 두 직선 x=t\displaystyle x=t , x=1\displaystyle x=1 로 둘러싸인 부분의 넓이를 S(t)\displaystyle S(t) 라 할 때, lim⁡t→1−S(t)T(t)\displaystyle \lim\limits_{t\to 1-}\dfrac{S(t)}{T(t)} 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, 0<t<1\displaystyle 0<t<1 )제1사분면에 원점에서 출발하는 세 그래프 $y=x^2$ , $y=x$ , $y=\sqrt{x}$ 가 그려져 있고, 세 그래프는 원점과 점 $\mathrm{A}(1,\ 1)$ 에서 모두 만난다. 곡선 $y=x^2$ 은 직선 $y=x$ 의 아래쪽, 곡선 $y=\sqrt{x}$ 는 위쪽으로 볼록한 렌즈 모양을 이룬다. 세로 점선 $x=t$ 가 $0<t<1$ 인 위치에 그려져 있고, 이 점선이 곡선 $y=\sqrt{x}$ 와 만나는 점이 $\mathrm{B}\left(t,\ \sqrt{t}\right)$ 이다. 원점 $\mathrm{O}$ , 점 $\mathrm{A}$ , 점 $\mathrm{B}$ 를 잇는 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 가 표시되어 있다. (10점)xyABOt1y=√xy=xy=x²

교재와 닮은 점 · 2025 수특 문항은 삼각형 ABC의 넓이를 매개변수 m의 식 S(m)으로 나타낸 뒤 lim_{m→1+}S(m)/(m-1)^2 같은 0/0 꼴 극한을 계산하는데, 논술도 삼각형 넓이 T(t)와 정적분 넓이 S(t)를 t의 식으로 구해 t→1-에서 비의 극한을 계산한다.

2026 한국공학대 6번10점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 1. 함수의 극한

함수 f(x)=−x2+2ax (a>1)\displaystyle f(x)=-x^2+2ax\ (a>1) 에 대하여 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 와 x\displaystyle x 축이 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 P\displaystyle \mathrm{P} 라 하고, 직선 y=2x\displaystyle y=2x 에 평행한 직선이 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 에 접하는 점을 Q\displaystyle \mathrm{Q} 라 하자. 삼각형 OPQ\displaystyle \mathrm{OPQ} 의 넓이를 S(a)\displaystyle S(a) 라 할 때, lim⁡a→1+S(a)a−1\displaystyle \lim\limits_{a\to 1+}\frac{S(a)}{a-1} 의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, O\displaystyle \mathrm{O} 는 원점이다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 매개변수로 정해지는 삼각형의 넓이를 S(·)로 놓고 매개변수가 경계값으로 갈 때 S를 (매개변수-경계값)의 거듭제곱으로 나눈 극한을 구한다. 논술은 포물선의 x절편과 기울기 2인 접점으로 삼각형을 만들어 S(a)=a(a-1)(a+1)을 얻는다.

2025 가천대 14번10점변형2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 1. 함수의 극한

좌표평면 위의 점 A(4, 4)\displaystyle \mathrm{A}(4,\,4) 와 실수 m (m>1)\displaystyle m\,(m>1) 에 대하여 점 A\displaystyle \mathrm{A} 에서 직선 y=mx\displaystyle y=mx 에 내린 수선의 발을 B\displaystyle \mathrm{B} 라 하자. 점 B\displaystyle \mathrm{B} 를 지나며 x\displaystyle x 축에 수직인 직선이 선분 OA\displaystyle \mathrm{OA} 와 만나는 점을 C\displaystyle \mathrm{C} 라 하자. 삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC} 의 넓이를 S(m)\displaystyle S(m) , 삼각형 OBC\displaystyle \mathrm{OBC} 의 넓이를 T(m)\displaystyle T(m) 이라 할 때, lim⁡m→1+S(m)(m−1) T(m)\displaystyle \lim\limits_{m\to1+}\dfrac{S(m)}{(m-1)\,T(m)} 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, O\displaystyle \mathrm{O} 는 원점이고, 점 B\displaystyle \mathrm{B} 의 x\displaystyle x 좌표는 0보다 크다.) (10점)

교재와 닮은 점 · 수능특강 문항은 점 A(4,4)와 m>1, 직선 y=mx 위의 점 B, B를 지나 x축에 수직인 직선이 선분 OA와 만나는 점 C, 삼각형 ABC의 넓이 S(m)에 대해 lim(m→1+)S(m)/(m-1)² 을 구한다. 논술은 문장과 기호가 거의 그대로다.

다른 점 · B를 'OA=OB인 점' 대신 'A에서 직선에 내린 수선의 발'로 바꾸고 분모에 T(m)을 넣었다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅱ 01. 함수의 극한 27번

그림과 같이 곡선 y=x2−2x\displaystyle{y=x^{{2}} -2x} 위의 점 P(t, t2−2t) (0<t<2)\displaystyle{{{P}} \left ( t,~ t^{{2}} -2t \right ) ~ \left ( 0 \lt t \lt 2 \right ) }를 지나고 기울기가 −2\displaystyle{-2}인 직선이 곡선 y=x2−2x\displaystyle{y=x^{{2}} -2x}와 만나는 점 중 P\displaystyle{{{P}}}가 아닌 점을 Q\displaystyle{{{Q}}}라 하자. 선분 OQ\displaystyle{{{OQ}}}의 길이를 L(t)\displaystyle{L \left ( t \right ) }라 할 때, lim⁡t→0+L(t)t\displaystyle{\lim \limits _{{t \rightarrow 0+}} \dfrac {{L \left ( t \right ) }} {{t}}}의 값은? (단, O\displaystyle{{{O}}}는 원점이다.)

2025학년도 완성수학Ⅱ 04. 함수의 극한과 연속 15번

그림과 같이 양의 실수 t\displaystyle{t }에 대하여 직선 x=t\displaystyle{x=t}가 두 함수 y=3x\displaystyle{y=3x}, y=x2+3x+4−2\displaystyle{y= \sqrt {x^{{2}} +3x+4} -2}의 그래프와 만나는 점을 각각 P\displaystyle{P }, Q\displaystyle{Q }라 하자. 삼각형 OPQ\displaystyle{OPQ}의 넓이를 S(t)\displaystyle{S \left ( t \right ) }라 할 때, lim⁡t→0+S(t)t2\displaystyle{\lim \limits _{{t\to 0+}} {\dfrac {{S \left ( t \right ) }} {{t^{{2}}}}}}의 값은?

(단, O\displaystyle{O }는 원점이다.)

2025학년도 완성수학Ⅱ 04. 함수의 극한과 연속 16번

그림과 같이 양의 실수 t\displaystyle{t }에 대하여 점 P(t, 0)\displaystyle{P \left ( t,~0 \right ) }을 꼭짓점으로 하고 점 A(0, 1)\displaystyle{A \left ( 0,~1 \right ) }을 지나는 이차함수 y=f(x)\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }의 그래프가 직선 y=3x+1\displaystyle{y=3x+1}과 만나는 점 중 A\displaystyle{A }가 아닌 점을 Q\displaystyle{Q }라 하고, 점 Q\displaystyle{Q }를 지나고 x\displaystyle{x }축과 평행한 직선이 이차함수 y=f(x)\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }의 그래프와 만나는 점 중 Q\displaystyle{Q }가 아닌 점을 R\displaystyle{R }이라 하자. 삼각형 AQR\displaystyle{AQR}의 넓이를 S(t)\displaystyle{S \left ( t \right ) }라 할 때, lim⁡t→0+S(t)t2\displaystyle{\lim \limits _{{t \rightarrow 0+}} {\dfrac {{S \left ( t \right ) }} {{t^{{2}}}}}}의 값을 구하시오.

2025학년도 특강수학Ⅱ 1. 함수의 극한 0번

좌표평면에서 함수 f(x)=x2+1(x≥0)\displaystyle{f(x)=x^{2}+1(x \geq 0)} 의 역함수의 그래프와 실수 t(t>1)\displaystyle{t(t>1)} 에 대하여 직선 y=−x+t\displaystyle{y=-x+t} 가 만나는 점을 A\displaystyle{\mathrm{A}} 라 하자. 두 점 B(1,0),C(t,0)\displaystyle{\mathrm{B}(1,0), \mathrm{C}(t, 0)} 에 대하여 삼각형 ABC\displaystyle{\mathrm{ABC}} 의 넓이를 S(t)\displaystyle{S(t)} 라 할 때, lim⁡t→1+S(t)(t−1)2\displaystyle{\lim _{t \rightarrow 1+} \frac{S(t)}{(t-1)^{2}}} 의 값을 구하시오.

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