🛠️ 2025학년도 한기대 수리논술 기출 (오후)

함수 $\displaystyle y=3^{x-2}+3$ 의 그래프 위의 점 $\displaystyle (a,\ b)$ 와 함수 $\displaystyle y=3^{x-2}+3$ 의 그래프의 점근선 사이의 거리가 3일 때, $\displaystyle a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이다.) (4점)

두 양수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle (0,\ \log_2 a)$ , $\displaystyle (1,\ \log_2 b)$ 를 지나는 직선이 점 $\displaystyle (3,\ 2)$ 를 지날 때, $\displaystyle \dfrac{b^3}{a^2}$ 의 값을 구하시오. (4점)

함수 $\displaystyle f(x)=\left|x^3-12x\right|$ 에 대하여 $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle f(x)=k$ 의 서로 다른 실근의 개수가 4가 되도록 하는 실수 $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오. (8점)

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x+4)=f(x)$ 이고, $\displaystyle 0\le x<4$ 일 때 $\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x+4 & (0\le x<2) \\[4pt] \dfrac{ax+b}{x+2} & (2\le x<4)\end{cases}$ 이다. 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $\displaystyle f(15)$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이다.) (8점)

$\displaystyle 0\le x<\dfrac{5}{2}\pi$ 일 때, 방정식 $\displaystyle 5\sin x=2$ 를 만족하는 $\displaystyle x$ 의 값을 작은 것부터 차례로 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 라 하자. 이때 $\displaystyle \cos\left(\dfrac{a+b}{2}+c\right)$ 의 값을 구하시오. (8점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-2x^3}{2x^2+1}=-1$

(나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{(x-1)^k}=m$ 인 자연수 $\displaystyle k$ 와 상수 $\displaystyle m$ 이 존재한다. (단, $\displaystyle k\ge 2$ ) $\displaystyle f(m)$ 의 값을 구하시오. (12점)

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\begin{cases} f(x)-f(x-1) & (x<0) \\ f(x) & (x\ge 0)\end{cases}$ 이라 하자. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle f(3)$ 의 값을 구하시오. (12점)

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle 4x^2-2f(x)=x+1+f(-x)$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx$ 의 값을 구하시오. (12점)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} t(t-2)(t-4)\,dt$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 극댓값을 구하시오. (6점)

(2) 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=f(x+2)-f(x)$ 라 할 때, 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 극솟값을 구하시오. (10점) (16점)

모든 항이 0이 아닌 정수이고 공차 $\displaystyle d$ 가 양수인 등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 하자. 수열 $\displaystyle \{S_n\}$ 의 각 항을 작은 수부터 다시 차례로 나열한 수열을 $\displaystyle \{M_n\}$ 이라 하면, 수열 $\displaystyle \{M_n\}$ 이 $\displaystyle M_2-M_1=M_3-M_2=2$ 를 만족시킨다. $\displaystyle S_n>0$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값이 13일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 수열 $\displaystyle \{S_n\}$ 의 모든 항은 서로 다르다.)

(1) 공차 $\displaystyle d$ 의 값을 구하시오. (8점)

(2) 첫째항 $\displaystyle a_1$ 의 값을 구하시오. (8점) (16점)