D032연속함수의 성질

교재 6문항 · 논술 기출 1문항

핵심

연속함수의 합·차·곱은 연속이고, 몫은 분모가 $0$ 이 아닌 곳에서 연속이다. 구간별로 정의된 함수는 이음매에서 좌극한·우극한·함숫값 셋이 모두 같아야 연속이다.

해법

1이음매가 되는 $x$ 를 모두 찾는다.
2각 이음매에서 좌극한과 우극한을 계산한다.
3두 극한과 함숫값이 같다고 놓아 식을 만든다.
4미지수 개수만큼 식을 모아 연립한다.

공략

· 분모가 $0$ 이 되는 점에서 연속이려면 분자도 그 인수를 가져야 한다. 「모든 실수에서 연속」이라는 조건은 대개 이 뜻이다.
· $f(x)g(x)$ 가 연속이라고 해서 $f$ , $g$ 가 각각 연속인 것은 아니다. 불연속인 두 함수의 곱이 연속일 수 있다 — 참·거짓 문항의 단골이다.
· 이음매에서 함숫값이 어느 쪽 식으로 정의되는지 확인한다. 등호가 붙은 쪽이 함숫값을 준다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	—	3	3
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	0%/79문항	5%/56문항	4%/78문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 가천대 9번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 02. 함수의 연속 28제 19번

함수 $\displaystyle f(x)=x^2-3x+k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle y=\dfrac{3x+1}{2\{f(x)\}^2-2xf(x)+5f(x)}$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $\displaystyle k$ 의 값의 범위를 구하는 과정을 서술하시오.

교재와 닮은 점 · 분모를 f(x){f(x)+(일차식)} 꼴로 인수분해하고 두 이차식이 모든 실수에서 0이 아니도록 판별식<0을 각각 따져 공통 범위를 구하는 과정이 같다.

다른 점 · 수특은 f(x)=x^2-4x+n에서 자연수 n의 최솟값을 묻고, 논술은 f(x)=x^2-3x+k에서 실수 k의 범위를 서술하게 한 정도다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅱ 02. 함수의 연속 12번

실수 전체의 집합에서 연속인 두 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ , $\displaystyle{g \left ( x \right ) }$ 가

$\displaystyle{\lim \limits _{{x \rightarrow 2}} \left ( f \left ( x \right ) +g \left ( x \right ) \right ) =5}$ , $\displaystyle{\lim \limits _{{x \rightarrow 2}} \left ( 2f \left ( x \right ) -g \left ( x \right ) \right ) =7}$

을 만족시킬 때, $\displaystyle{f \left ( 2 \right ) -g \left ( 2 \right ) }$ 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅱ 02. 함수의 연속 5번

두 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ , $\displaystyle{g \left ( x \right ) }$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, <보기>의 함수 중 실수 전체의 집합에서 연속인 것만을 있는 대로 고른 것은?

$\displaystyle{f \left ( x \right ) -2g \left ( x \right ) }$
$\displaystyle{f \left ( x \right ) \left \{ f \left ( x \right ) +g \left ( x \right ) \right \} }$
$\displaystyle{\dfrac{{f \left( x \right) +g \left( x \right) }} {{f \left( x \right) +x^{{2}}}}}$

2027학년도 특강수학Ⅱ 02. 함수의 연속 1020번

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle (3x+5)f(x)=(f(x))^2+6x+6$ 를 만족시킨다. $\displaystyle f(0)-f(-1)=2$ 일 때, $\displaystyle f(1)-f(-2)$ 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅱ 02. 함수의 연속 6번

함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) = \dfrac {{x}} {{x^{{2}} -2x+a}}$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 자연수 $\displaystyle a$ 의 최솟값은?

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