D013극한값을 이용한 미정계수의 결정3년 연속

상수 $\displaystyle a$ 에 대하여 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle 9\times\lim_{x\to 3}\frac{f(x)-x}{x^3-27}=\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(x+1)}{x^2-4}=a$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle f(7)$ 의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 분모가 0으로 수렴하는데 극한값이 존재하므로 분자도 0이어야 한다는 같은 정리로 함숫값을 확정한다.

다른 점 · 수특은 유리식의 미정계수 a, b를 구하는 단품이고, 논술은 f(3)=f(2)=3에서 f(x)=c(x-3)(x-2)+3으로 놓고 두 극한을 연립해 f(7)까지 구한다.

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)=x^2+ax+b$ ( $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수)와 상수 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)=(x^2-2x+k)f(x)$ 라 할 때, 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle g'(2)\neq 0$ 이고, $\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{g(x)-f(x)}{x-2}=0$ 이다.(나) $\displaystyle f(t)=f'(t)$ 와 $\displaystyle g'(t)=3f'(t)$ 를 동시에 만족시키는 실수 $\displaystyle t$ 가 존재한다.다음 물음에 답하시오.(1) 위의 조건을 만족시키는 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 정확히 구하시오.(2) $\displaystyle \frac{b}{a}$ 의 값을 구하시오.(3) (1)을 만족시키는 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle g(t+5)=\frac{m}{n}$ 일 때, $\displaystyle m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 은 서로소인 자연수)[답란] (1) 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (5.4점) (2) $\displaystyle \frac{b}{a}=$ ______ (2.3점) (3) $\displaystyle m+n=$ ______ (2.3점) 〔전체 10점〕

교재와 닮은 점 · 분모가 0으로 갈 때 극한값이 존재하면 분자도 0으로 가야 한다는 같은 정리로 미정계수를 정한다. 논술은 lim (g(x)-f(x))/(x-2)=0에서 (k-1)f(2)=0을 얻어 경우를 나눈다.

다른 점 · 논술은 곱의 미분법으로 g'(t)=3f'(t)까지 연립해 t와 b/a를 구하는 서술형이다.

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle -2x^2+2x \le f(x) \le x^2+2x$ 를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.(1) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\{f(x)\}^2}{3x^2+xf(x)}$ 의 값을 구하시오.(2) $\displaystyle \lim\limits_{x\to -2}\dfrac{f(x+2)-ax+b}{x^2-4}=4$ 를 만족시키는 두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오. (10점)① $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\{f(x)\}^2}{3x^2+xf(x)}=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿ (4.8점)② $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (5.2점)

교재와 닮은 점 · 논술 (2)는 lim (f(x+2)-ax+b)/(x^2-4)=4에서 분모가 0이므로 분자도 0이어야 함을 써서 a,b를 정하는데, 교재 11번이 같은 정리로 a+b를 구한다.

다른 점 · 논술 (1)은 -2x^2+2x≤f(x)≤x^2+2x라는 부등식에서 극한의 대소관계를 쓰는 부분이 따로 있다.